Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.

Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятиемотносительной частотыпоявления событияв опытах.Относительная частотапоявления события– это отношение числапоявлений событияв серии изопытов к числу испытаний:

.

Опыт показывает, что при проведении сравнительно малого числа испытаний относительная частота принимает значения, которые могут сильно отличаться друг от друга. При однотипныхмассовыхиспытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. с увеличением числа испытаний относительная частота колеблется около некоторого постоянного числа, причем эти отклонения тем меньше, чем больше произведено испытаний.

Вероятностью события в статистическом смысле называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частотапри неограниченном увеличении числа опытов.

Поэтому, на практике за вероятность события принимается относительная частотапри достаточно большом числе испытаний.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было пренебречь вероятностью наступления некоторого события в единичном испытании (например, землетрясение в Минске)? Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности – вероятности попадания точки в некоторую область ( отрезок, часть плоскости и т.д.).

В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть представлено областью , а под событиемможно понимать исходы, входящие в некоторую область, принадлежащую области.

Пусть на область наугад бросается “точка”. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область, являющуюся частью области?

1. Пусть отрезок длины, составляет часть отрезкадлина которого. На отрезокнаудачу поставлена точка. Предполагается, что

• поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;

• вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка.

Тогда вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством.

2. Пусть плоская фигура с площадьюсоставляет часть плоской фигуры, площадь которой. На фигурунаудачу брошена точка. Предполагается, что:

• брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;

• вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры, ни от формы.

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру определяется равенством.

3. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема, содержащую областьобъема

:

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем и т.д.) через, а меру области– через. Тогда вероятность попадания в областьточки, брошенной в область, определяется формулой:

.

Пример: в течение суток к причалу могут подойти 2 парохода. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать, если время разгрузки одного ид них равно 1 часу, а другого – 2 часам.