Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серииопытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при членеи даст искомую вероятность.

Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно

.

Найти вероятность трех попаданий.

Решение: Составим производящую функцию

Отсюда вероятность трех попаданий равна 0,040. Легко найти и вероятности ни одного, одного, двух и четырех попаданий, выписывая коэффициенты при и.

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Число наступлений события называетсянаивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступлениялюбое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события внезависимых испытаниях заключено между числамии.

Следует отметить, что наивероятнейших чисел может быть два или одно в зависимости от того, является np+pцелым числом или нет. Если это число нецелое, то наивероятнейшее число(целая часть), в противном случае имеется два значенияи

Предельные теоремы для схемы Бернулли.

Если число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. В этом случае можно применять приближенные формулы, точность которых увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона.

Теорема: Если вероятностьнаступления событияв каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятность того, что событиенаступитраз, приближенно равна

,

где .

Доказательство:

Введем обозначение , выразим отсюдаи подставим это выражение в формулу Бернулли:

.

При все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.

.

При

,

поэтому

,

что и требовалось доказать.

Понятие потока событий.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событийс интенсивностью. Параметрпредставляет при этомсреднее число успехов.

Потоком событийназывают последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.Интенсивностью потоканазывают среднее число событий в единицу времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствамистационарности,отсутствия последействийиординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появлениясобытий на любом промежутке времени зависит только от числаи от длительности промежутка времении не зависит от начала его отсчёта.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка, т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий.

Свойство ординарностихарактеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени маловероятно по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Если интенсивность простейшего потока известна, то вероятность появлениясобытий за времяопределяется формулой

Примерпростейшего потока событий. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 вызова.

Подставляя в вышеприведенную формулу , получим