Правила суммы и произведения.

Правило суммы– если элементаможет быть выбранспособами, а элементb –mспособами, то один из этих элементов можно выбратьn+m способами.

Правило произведения– если элементаможет быть выбранспособами и после каждого такого выбора элементb можно выбратьmспособами, то пару (ab) из этих элементов в указанном порядке можно выбратьnm способами.

Упорядоченные наборы, состоящие из kразличных элементов, выбранные изnданных элементов, называютсяразмещениямиизnэлементов поk. Размещения могут отличаться как элементами, так и порядком.

Теорема. Число всех размещений изnэлементов поkвычисляется по формуле:

Действительно, первый элемент размещения может быть выбран nспособами. Для каждого из этих вариантов естьn-1 способов расположения одного из оставшихся элементов на втором месте. Следовательно, по правилу произведения, имеетсяn*(n-1) различных способов выбора элементов на первых двух местах. Продолжая это рассуждение по индукции, получаем доказательство.

Пример: Различными размещениями множества из трех элементов {1,2,3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)

В частном случае k=nразмещения называютсяперестановками.

Так как каждая перестановка содержит все nэлементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов и

Пример: Различными перестановками множества элементов {1,2,3} будут (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2)

Неупорядоченные наборы из kэлементов, взятых из данныхnэлементов, называютсясочетаниями изnэлементов поk.

Теорема. Число сочетаний из nэлементов поkвычисляется по формуле

Доказательство можно получить, учитывая, что сочетания отличаются от размещений тем, что в них не важен порядок следования заданных kэлементов. Поэтому при равныхnиkчисло сочетаний меньше числа размещений вk! раз.

Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли. Теорема Пуассона. Понятие потока событий. Локальная теорема Муавра –Лапласа. Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность, не зависящую от номера испытания, называетсясхемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие(успех), вероятность которогои событие(неудача), вероятность которого.

Вероятность того, что событие наступит в испытаниях, определяется поформуле Бернулли

.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах цель будет поражена 8 раз. Ответ

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах

Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, производится серия выстрелов при изменяющейся дальности.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений событий в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.

Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие, причем вероятность появления этого события в-м опыте равна, а вероятность его не появления соответственно. Требуется найти вероятностьтого, что в результатеопытов событиепоявится ровнораз.

Решение данной задачи проводится с помощью так называемой производящей функции, имеющей вид:

.