Свойства операций над событиями.

Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Алгебра и сигма-алгебра событий.

Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка. Выделим совокупность подмножествмножества. При этом потребуем, чтобысодержало как случайные события, так и события, полученные в результате применения любой из описанных операций к любым элементам системы.

Совокупность случайных событий(подмножеств множества), определенных на пространстве элементарных исходов, называетсяалгеброй событий (илибулевой алгеброй– по имени английского математика Дж. Буля (1815 – 1864)), если выполнены следующие условия:

1. ;

2. Если и, тодля любыхи;

3. Если , то.

Оказывается, что условий 1 – 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры. Для экспериментовс конечным числом исходов множество всех подмножеств, включающее пустое множество, составляет алгебру. Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множестваможет интерпретироваться как наблюдаемое событие.

Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом элементарных исходов и, следовательно, операций. Это потребовало введения понятия -алгебры событий.

Система подмножеств множества, называется-алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. Если , тои

3. Если , то.

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит результирующее событие за пределы –алгебры.

Лекция 3. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Вероятностное пространство.

Вероятностьявляется количественной мерой возможности появления события. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.

Классическое определение вероятностисвязано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания:

,

где ­– число благоприятствующих событиюисходов;

– общее число возможных исходов.

Примеры:1. Кубик, 2. Какова вероятность того, что в произвольном двузначном числе две цифры одинаковы (9/90 = 0.1), 3. Из букв слова “дифференциал” выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это а) гласная, б) буква “ф”.

Из определения вероятности события следует, что, поэтому всегда выполняются неравенства, т.е.вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

• Если , то событиеневозможное.

• Если , то событиедостоверное.

• Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то.

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход событияявляется таким же элементарным исходом для событияи наоборот. В силу формулысправедливо равенство .

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие, то говорят, что из событияследует событие(). Например, для любых двух событийисправедливои.

Теорема. Если , то.

Доказательство. Пустьи– число благоприятных элементарных исходов соответственно для событийи, а– общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для событияявляется также элементарным исходом для события, тои, следовательно,.Пример: выпадение четного числа очков более вероятно, чем выпадение двойки.

Теорема. Вероятность события , противоположного событию равна

.

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержитсобытий, из которых(), благоприятны событию. Тогдаисходов неблагоприятны событию, т.е. благоприятствуют событию. Таким образом,

.

Классическое определение вероятности предполагает, что

• число элементарных исходов конечно;

• эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено. Пример: кубик со смещенным центром тяжести.