17. Асимптоты и способы их отыскания с демонстрацией на конкретных примерах

Асимптотой кривой нрчазывается прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальная. Если вертикальная асимптота. Их следует искать в точках разрыва ф-и или на концах ее области определения.

Г оризонтальная. если существует горизонтальная асимптота.

Наклонная. Если существует наклонная асимптота.

П

Х=0 – вертикальная асимптота

Горизонтальных асимптот нет

y=x – наклонная асимптота

ример.

18*. Понятие функции нескольких переменных (с примерами). Линии уровня. Нахождение линий уровня на конкретном примере.

Если каждому набору n переменных x₁,…, x_n из некоторого множества Х соответствует одно определенное значение переменной z, то говорят, что задана функция нескольких переменных

Множество Х – область определения ф-ии.

Графиком ф-ии 2х переменных явл множество точек 3х мерного пространства (x, y, z) и представляет собой некоторую поверхность (геометрическое место точек).

Пример1. . Графиком явл окр-ть.

Пример2. , Графиком явл сфера (шар).

Линией множества ф-ии 2х переменных z=f(x,y) называется геометрическое место точек плоскости, в котором ф-я принимает одно и тоже значение С=const.

Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость xy множество точек пространства xyz, лежащих в пересечении поверхности zxy плоскости z=C.

Число С называется уровнем. Там, где линии гуще, ф-ии меняются быстрее, поверхность, изображающая ф-ю, идет круче. А там, где линии располагаются реже, ф-я изменяется медленнее.

Отметки на линии уравнения дают непосредственное значение ф-ии в точках этих линий.

Уравнение линий уровня: f(x,y)=C.

Например, линиями уровня ф-ии явл концентрические окружности радиуса с центром в начале координат.

19. Определение предела и непрерывности функции нескольких переменных (привести примеры).

Число А называется пределом ф-и z=f(x,y) при х→х_о, у→у_о, если для любого числа ε>0 найдется число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), такое, что для всех точек (х,у), отстоящих от точки (х_о, у_о) на расстояние меньшее, чем δ, выполняется неравенство |f(x,y) – A|<ε.

Ф-я z=f(x,y) называется непрерывной в точке (х_о, у_о), если она: 1)определена в точке (х_о, у_о); 2)имеет конечный предел при х→х_о, у→у_о; 3)этот предел равен значению ф-и в точке (х_о, у_о), т.е.

20. Полное приращение функции нескольких переменных. Определение частной производной с геометрической интерпретацией. Вычисление частных производных на конкретных примерах.

Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда ф-я z получит наращенное значение f(x+Δx, y+Δy). Величина Δz=f(x+Δx, y+Δy) – f(x,y) называется полным приращением ф-и в точке (x,y). Если задать только приращение аргумента х или только приращение у, то полученные приращения ф-и соответственно Δ_хz=f(x+Δx,y) – f(x,y) и Δ_уz=f(x,у+Δy) – f(x,y) называются частными. Геометрически Δz представляет собой разность аппликат точек к поверхности z=f(x,y) соответствующим точкам (х,у) и (x+Δx, y+Δy).

Частной производной ф-и нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е. .

(используются также обозначения .

Пусть график ф-и z=f(x,y) есть некоторая поверхность Р, а сечение ее плоскостью у=у₀ – кривая Г_х. Частная производная z’_x выражает угловой коэффициент касательной к кривой Г_х в заданной точке (х_о, у_о), т.е. z’_x(х_о, у_о)=tgα, где α – угол наклона касательной к оси Ох. Аналогично z’_у(х_о, у_о)=tgβ.

Для нахождения частной производной по одной переменной все другие переменные (на время дифференцирования) считают постоянными величинами.

Например,