- •1*. Понятие приращения функции и понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- •2. Определения касательной и нормали и их уравнения.
- •3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.
- •4*. Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
- •5 . Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
- •6. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически с демонстрацией на конкретных примерах.
- •7. Производная степенно-показательного выражения с демонстрацией на конкретных примерах.
- •8*. Первый дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •9. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница (с демонстрацией на примерах).
- •10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя (с демонстрацией на примерах).
- •11. Формула Тейлора для многочлена и произвольной ф-ии
- •12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши (с геометр интерпретацией)
- •13. Понятие монотонности и экстремума ф-и с геометр интерпретацией и примерами
- •15*. Необходимые и достаточные условия экстремума функции с геометрической интерпретацией и конкретынми примерами.
- •16. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба и геометрический смысл перегиба. Схема нахождения точек перегиба с демонстрацией на конкретных примерах.
- •17. Асимптоты и способы их отыскания с демонстрацией на конкретных примерах
- •18*. Понятие функции нескольких переменных (с примерами). Линии уровня. Нахождение линий уровня на конкретном примере.
- •19. Определение предела и непрерывности функции нескольких переменных (привести примеры).
- •20. Полное приращение функции нескольких переменных. Определение частной производной с геометрической интерпретацией. Вычисление частных производных на конкретных примерах.
- •21. Частные производные высших порядков, смешанные производные (с демонстрацией на конкретных примерах). Теорема о смешанных производных (для функции двух переменных и общий случай).
- •22. Производная по направлению, градиент функции.
- •23. Дифференциалы первого и высших порядков функции двух переменных.
- •24. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных с демонстрацией на конкретном примере.
- •25. Достаточное условие экстремума функции двух переменных с демонстрацией на конкретном примере.
25. Достаточное условие экстремума функции двух переменных с демонстрацией на конкретном примере.
Пусть ф-я z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области и точка (х,у) принадлежит этой области. Тогда, точка (хо,уо) – точка локального max (min), если всюду в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство:
.
Достаточное условие экстремума (общий случай). Ф-я z=f(x1,x2,…,xn) в точке Мо имеет:
1)max, если df(Mo)=0,
2)min, если df(Mo)=0,
Утверждение. Достаточное условие экстремума ф-и 2х перемных.
Пусть Мо(хо,уо) – стационарная точка. Вычислим в этой точке значение частных производных и обозначим их:
1)если Δ>0, то экстремум в стационарной точке существует и будет точкой max, если А<0 (С<0) и точкой min, если А>0 (С>0)
2)если Δ<0, то экстремума в стационарной точке нет
3)если Δ=0, то необходимо провести дополнительные исследования.
Например,