- •26*. Условный экстремум функции нескольких переменных. Определение и методы вычисления на примерах.
- •27*. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
- •28*. Свойства неопределенного интеграла с доказательством и простейшие правила интегрирования.
- •29. Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах.
- •30. Метод интегрирования по частям с демонстрацией на конкретных примерах.
- •31. Интегрирование рациональных дробей с демонстрацией на конкретных примерах.
- •32*. Сумма Римана и ее предел. Геометрический смысл суммы Римана. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.
- •33. Свойства определенных интегралов с примерами.
- •34*. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления (с примерами).
- •35. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле с демонстрацией на конкретных примерах.
- •36. Определение площадей и объемов тел вращения с помощью определенных интегралов (с примерами).
- •37. Несобственные интегралы первого и второго рода.
- •38. Признаки сходимости для несобственных интегралов первого и второго родов.
- •39. Дифференциальное уравнение и его решение. Примеры. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уоавнения первого порядка с геометрической интерпретацией.
- •40*. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и уравнений, приводящихся к ним. Общий интеграл.
- •41. Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка ( с примерами). Уравнение Бернулли.
- •1 Способ) метод вариации постоянной.
- •2Способ) ур-е Бернулли
- •42. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. Фср. Определитель Вронского и его свойства.
- •45*. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).
- •46*. Нахождение частоного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределнных коэффициентов (метод подбора по виду правой части
26*. Условный экстремум функции нескольких переменных. Определение и методы вычисления на примерах.
Точка М(хо,уо) называется точкой условного max (min) ф-и z=f(x,y), при условии g(x,y)=C, если сущ-ет такая окрестность этой точки, что во всех точках (х,у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x,y)=C, выполняется неравенство .
Уравнение g(x,y)=C называется уравнением связи.
Метод множителей Лагранжа основан на том, что точка условного экстремума (xо,yо) ф-и z=f(x,y) при условии g(x,y)=C соответствует точке экстремума (xo,yo,λo) ф-и L(x,y,λ)=f(x,y)+λ[g(x,y) – C]. Ф-я L называется ф-ей Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа.
Например,
27*. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
Ф-я F(x) в данном промежутке называется первообразной для ф-ии f(x), если во всем этом промежутке f(x) явл производной для ф-ии F(x): F’(x)=f(x).
Если в некотором конечном (или бесконечном), замкнутом (или нет) промежутке Х ф-я F(x) явл первообразная для f(x), то и ф-я F(x)+C, где С-const. так же будет первообразной для f(x).
Каждая ф-я, первообразная для f(x), в промежутке Х может быть представлена в форме F(x)+C.
Совокупность всех первообразных для f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается .
f(x) – подынтегральная ф-я
Таблица основных интегралов
1) |
= |
С |
10) |
= |
–ctg x+C |
2) |
= |
x+C |
11) |
= |
tg x+C |
3) |
= |
12) |
= |
||
4) |
= |
13) |
= |
sh x+C |
|
5) |
= |
14) |
= |
ch x+C |
|
6) |
= |
15) |
= |
–cth x+C |
|
7) |
= |
16) |
= |
th x+C |
|
8) |
= |
–cos x+C |
17) |
= |
ex+C |
9) |
= |
sin x+C |
|
|
|
Вычисление интегралов с помощью использования таблицы простейших интегралов, основных свойств и правил называется интегрированием.
28*. Свойства неопределенного интеграла с доказательством и простейшие правила интегрирования.
Свойства:
1)
2)
3)
Правила:
-
С – const (C не равно 0)
-
-
Вычисление интегралов с помощью использования таблицы простейших интегралов, основных свойств и правил называется интегрированием.
29. Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах.
Метод замены переменной (метод подстановки) – один из основных методов интегрирования, описываемый следующей формулой: , где ф-я x=φ(t) имеет непрерывную производную на рассматриваемом промежутке.
Новую переменную можно не вписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании ф-и под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).
Интегрирование путем замены переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок 2х видов:
-
x=φ(t), где φ(t) – монотонная непрерывная дифференцируемая ф-я новой переменной t.
dx=φ’(t)dt,
-
t=ψ(x),
Замечание. При выборе подстановки t=ψ(x), упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель ψ’(x)dx, дающий дифференциал новой переменной dt: ψ’(x)dx=dt.
Например:
1.
2.
3.