30. Метод интегрирования по частям с демонстрацией на конкретных примерах.

Пусть u=u(x), v=v(x) – ф-и, имеющие непрерывные первые производные на рассматриваемом интервале. Тогда справедлива формула , которая называется формулой интегрирования по частям.

dv=P_n(x)dx

если n>1, то правило интегрирования по частям нужно применить неоднократно. Повторное применение приводит к обобщенной формуле в общем случае.

Типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

1.

2. , где a,m,k – действительные числа (k≠-1), n – целое положительное число.

Например, 1)

31. Интегрирование рациональных дробей с демонстрацией на конкретных примерах.

I.

II.

III.

IV.

Разложение рациональной дроби на элементарные:

Если правильная рац дробь, знаменатель которой представлен в виде произведений линейных и квадратичных множителей, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

Правило для интегрирования рац ф-и:

1. если неправильная дробь (k≥n), то следует выделить из нее целую часть

2. правильную рац дробь следует представить в виде суммы элементарных дробей вида (2).

Дроби из суммы приводят к общему знаменателю и приравнивают многочлен, получившийся в числителе к многочлену R_k(x). Для того, чтобы два многочлена были тождественно равны необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях х у них были равны. Учитывая это, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства. Получаем систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.

3. интегрируем элементарные дроби с полученными коэффициентами.

32*. Сумма Римана и ее предел. Геометрический смысл суммы Римана. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.

Пусть на отрезке [a,b] задана ф-я y=f(x). Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков точками x₀, x₁, …,x_n; τ={a= x₀<x₁<…<x_n=b}. На каждом отрезке [x_i-1; x_i] разбиения выберем некоторую точку ξ_i и полагаем Δx_i=x_i – x_i-1, где i=1,2,…,n. Δx_i условно называют длиной частичного отрезка [x_i-1; x_i]. Сумму вида будем называть интегральной суммой (или суммой Римана) для ф-и у=f(x) на [a,b]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения [a,b] на τ, так и от выбора точек ξ на каждом из отрезков разбиения.

Сумма Римана – это сумма площадей прямоугольников под ломаной на каждом из отрезков [x_i-1; x_i] прямой у=f(ξ_i), параллельной оси абсцисс, с основаниями Δх₁, Δх₂,…, Δx_n и высотами f(ξ₁),…f(ξ_n).

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения τ, т.е. λ=max{Δx_i}, где 1≤i≤n.

Пусть предел I суммы Римана при λ→0 сущ-ет, конечен и не зависит от способа выбора точек разбиения τ и точек ξ на этих отрезках: .

Тогда этот предел называется определенным интегралом от ф-и у=f(x) на [a,b], обозначается . При этом число а называется нижним пределом, число b – верхним; ф-я f(x) – подынтегральной ф-ей, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием ф-и f(x) на отрезке [a,b], причем предполагается, что a<b, a и b константы.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие опред интеграла введено таким образом, что в случае, когда ф-я у=f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], численно равен площади S под кривой у=f(x) на [a,b]: .

Экономический смысл определенного интеграла. Пусть ф-я z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции и, произведенной за промежуток времени [0;T], вычисляется по формуле: .

Достаточное условие сущ-я опред интеграла (интегрируемости ф-и). Если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.