45*. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).

1. k₁= k₂=…=k_m=k^~,

k^~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные

ФСР: e ^{k~ x},x e ^{k~ x},…, x^m-1 e ^{k~ x}, e ^{km+1 x}, e ^{kn x}

2. Если k₁=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k₂= α-iβ также будет m-кратным корнем

ФСР: e^αxcosβx, e^αxsinβx, xe^αxcosβx, xe^αxsinβx,x^m-1 e^αxcosβx, x^m-1 e^αxsinβx,…, e^k2m+1x,…, e^knx

46*. Нахождение частоного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределнных коэффициентов (метод подбора по виду правой части

Уравнение вида y'+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a<x<b называется ЛДУ 1ого порядка.

Если f(x)≠ 0, то уравнение называется неоднородным.

a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁ y^(n-1)+…+a_ny=f(x)

Общее р-е НЛДУ= ОО+ЧН

Наиболее общий вид правой части f(x) ДУ? При котором можно применить метод подбора:

f(x)= e^αx [P_n(x)cosβx+Q_m(x) sinβx],

где P_n(x), Q_m(x) –многочлены степени n и m соответственно.

В этом случае y _чн= x^se^αx [P^~_l(x)cos(βx)+Q^~_l(x) sin(βx)], где l=max(m,n), P^~_k(x) Q^~_k(x)- многочлены от x k-ой степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s- кратность корня φ=α±iβ характерестического ур-я (если α±iβ не является корнем характерестического ур-я, то s=0)

Если правая часть= сумме f(x)=, где a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁ y^(n-1)+…+a_ny, то y_чн=

	Правая часть ДУ	Корни характерестическогоу-я	Вид частного реш-я
1	Pm(x)	1)число 0 не является корнем ху	P~m(x)
		2)число 0- корень чу кр-ти s	xsP~m(x)
2	Pm(x) eαx (α∈R)	1)число αне является корнем ху	P~m(x) eαx
		2)число α- корень чу кр-ти s	xsP~m(x) eαx
3	Pn(x)cos(βx)+Qm(x) sin(βx)	1)число ±iβ не является корнем ху	P~k(x)cos(βx)+Q~k(x) sin(βx)
		2)число ±iβ - корень чу кр-ти s	xs(P~k(x)cos(βx)+Q~k(x) sin(βx))
4	eαx [Pn(x) cos(βx)+ Qm(x) sin(βx)],	1)числа α±iβ не является корнем ху	e αx (P~l(x)cos(βx)+Q~l(x) sin(βx))
		2)числа α±iβ - корень чу кр-ти s	xs e αx (P~l(x)cos(βx)+Q~l(x) sin(βx))