1*. Понятие приращения функции и понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

Если y=f(x) опреелена на X, x_o∈X, а x= x_o +∆x ∈X, то ∆x= x- x_o - приращение аргумента,

∆у= ∆f(x_o) = f(x_o +∆x) – f(x_o) – приращение функции

Производная функцией f(x) по независимой переменной x в точке x_o - предел отношения преращения ф-ии ∆f(x_o) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0, если этот предел существует.

F’(x_o) =

Геометрически производная = угловому коэффициенту ксательной к графику функции в точке x_o: k= tg'α=f’(x_o), α-угол наклона касательной.

Уравнение касательной в ее точке пересечения с кривой y(x) (в т.A(x_o, y_o)): y- y_o= f’(x_o)(x- x_o)

Уравнение нормали: y- y_o =

f’(x_o) характеризует скорость изменения f(x) в точке x_o - мгновенная скорость.

2. Определения касательной и нормали и их уравнения.

Касательная к кривой y(f) в точке M₀(x₀, f(x₀)) – предельное положение секущей MN при неограниченном приближении N по кривой к M.

y-f(x₀)= f’(x₀)(x-x₀) – ур-е касательной

Производная- это tg угла наклона (угл.коэфф) касательной к кривой y= f(x) в точке (x0;f(x0))

K=tgα= f’(x₀), α-угол наклона касательной

Н ормаль к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0))- прямая, прохожящая через M и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

k₂=1/k₁

y-f(x₀)= -1/ f’(x₀) * (x-x₀)

f’(x₀) характеризует скорость изменения ф-ии f(x) в точке x₀- мгновенная скорость.

3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.

№	Y=f(x)	Y’=f’(x)
1	C	0
2	xm	mxm-1
3	ax(0<a≠1)	axlna
	ex	ex
4	logax (0<a≠1)	1/x logae
	lnx	1/x
5	sinx	cosx
6	cosx	-sinx
7	tgx	1/cos2x
8	ctgx	-1/sin2x
9	arcsinx	1/√1-x2
10	arccosx	-1/√1-x2
11	arctgx	1/1+x2
12	arcctgx	-1/1+x2
12	√x	1/2√x

1)(CU)’= C*U’

2)(U±V)’= U’±V’

3)(UV)’=U’V+UV’

4)(U/V)=U’V-UV’ / V2

4*. Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Если функция u=f(x) имеет в некоторой точке x производную (∃u'_x=u’(x))

Если y=f(u) имеет в соответствующей точке u производную (∃y’_u= f’(u))

то y = f(u(x))в точке х также будет иметь производную, равную произведению производной u’(х) и y'(u) ф-й f(u) и u(x).

Y'_x= y’_u*u’_x

5 . Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Пусть

1. Ф-я f(x) в точке x= x₀ имеет конечную и отличную от нуля производную ∃f'(x₀)≠0

2. Для нее существует однозначная обратная ф-я ∃x=g(y), непрерывная в соответствующей точке y=y₀, где y₀=f(x₀)

Тогда ∃ g'(y₀) =

y’_x= x’_y= f’(x₀)=tgα, α- угол наклона кас. к ОХ;

g’(y₀)=tgβ, β- угол наклона кас. к ОY

α +β=П/2, tgβ=1/ tgα

Пр. y= , y'_x=?. ∃x= , x’_y= , y'_x=1/ x’_y=1/ 1/x* .