Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика Часть1.docx.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.07.2019
Размер:
55.73 Mб
Скачать

1*. Понятие приращения функции и понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

Если y=f(x) опреелена на X, xo∈X, а x= xo +∆x ∈X, то ∆x= x- xo - приращение аргумента,

∆у= ∆f(xo) = f(xo +∆x) – f(xo) – приращение функции

Производная функцией f(x) по независимой переменной x в точке xo - предел отношения преращения ф-ии ∆f(xo) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0, если этот предел существует.

F’(xo) =

Геометрически производная = угловому коэффициенту ксательной к графику функции в точке xo: k= tg'α=f’(xo), α-угол наклона касательной.

Уравнение касательной в ее точке пересечения с кривой y(x) (в т.A(xo, yo)): y- yo= f’(xo)(x- xo)

Уравнение нормали: y- yo =

f’(xo) характеризует скорость изменения f(x) в точке xo - мгновенная скорость.

2. Определения касательной и нормали и их уравнения.

Касательная к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0)) – предельное положение секущей MN при неограниченном приближении N по кривой к M.

y-f(x0)= f’(x0)(x-x0) – ур-е касательной

Производная- это tg угла наклона (угл.коэфф) касательной к кривой y= f(x) в точке (x0;f(x0))

K=tgα= f’(x0), α-угол наклона касательной

Н ормаль к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0))- прямая, прохожящая через M и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

k2=1/k1

y-f(x0)= -1/ f’(x0) * (x-x0)

f’(x0) характеризует скорость изменения ф-ии f(x) в точке x0- мгновенная скорость.

3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.

Y=f(x)

Y’=f’(x)

1

C

0

2

xm

mxm-1

3

ax(0<a≠1)

axlna

ex

ex

4

logax (0<a≠1)

1/x logae

lnx

1/x

5

sinx

cosx

6

cosx

-sinx

7

tgx

1/cos2x

8

ctgx

-1/sin2x

9

arcsinx

1/√1-x2

10

arccosx

-1/√1-x2

11

arctgx

1/1+x2

12

arcctgx

-1/1+x2

12

√x

1/2√x

1)(CU)’= C*U’

2)(U±V)’= U’±V’

3)(UV)’=U’V+UV’

4)(U/V)=U’V-UV’ / V2

4*. Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Если функция u=f(x) имеет в некоторой точке x производную (∃u'x=u’(x))

Если y=f(u) имеет в соответствующей точке u производную (∃y’u= f’(u))

то y = f(u(x))в точке х также будет иметь производную, равную произведению производной u’(х) и y'(u) ф-й f(u) и u(x).

Y'x= y’u*u’x

5 . Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Пусть

  1. Ф-я f(x) в точке x= x0 имеет конечную и отличную от нуля производную ∃f'(x0)≠0

  2. Для нее существует однозначная обратная ф-я ∃x=g(y), непрерывная в соответствующей точке y=y0, где y0=f(x0)

Тогда ∃ g'(y0) =

y’x= x’y= f’(x0)=tgα, α- угол наклона кас. к ОХ;

g’(y0)=tgβ, β- угол наклона кас. к ОY

α +β=П/2, tgβ=1/ tgα

Пр. y= , y'x=?. ∃x= , x’y= , y'x=1/ x’y=1/ 1/x* .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.