Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика Часть2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
28.10.2018
Размер:
28.08 Mб
Скачать

40*. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и уравнений, приводящихся к ним. Общий интеграл.

Дифференциальное уравнение вида φ(y)dy=f(x)dx, где коэффициент при dx зависит только от х, а коэффициент при dy -только от y, называется уравнением с раздельными коэффициентами. Общим интегралом такого уравнение в расчете, что f(x) и φ(y) непрерывны, будет

Уравнения вида φ1(y)dyf1(x)dx= φ2(y)dyf2(x)dx=0, в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и y, называются ур-ями с разделяющимися переменными.

Вынесем за скобку φ1(y)f2(x).

Если φ1(y)f2(x)≠0, то путем деления на это произведение ур-е приводится к ур-ю с разделенными переменами:

=0

Почленное интегрирование =С определяет в неявной форме общее реш-е исходного ур-я.

Общий интеграл- общее решение ДУ, выраженное в неявной форме.

Если φ1(y)f2(x)=0, те φ1(y)=0, f2(x)=0. Если они имеют вещественные решения y=ρ, x=ε,то последние могут оказаться особыми решениями(особое решение- решение дифференциального ур-я, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной, включая ±∞). Других особых решений у ур-я быть не может.

ДУ вида , где abc- постоянные, заменой переменных z= ax+by+c преобразуется в ур-е с разделяющимися переменными.

y=, и подставляя в ур-е, получаем

Разделяя переменные и интегрируя, находим .

41. Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка ( с примерами). Уравнение Бернулли.

ЛДУ 1ого порядка- ур-е вида y'+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a<x<b.

1 Способ) метод вариации постоянной.

a)OO: y'+p(x)y=0

dy/dx+p(x)y=0- ур-е с раздел.переменными

ln|y|=-ln|c|

y=С, где С- произвольная постоянная≠0.

Может быть потеряно реш-е y=0. Тк его можно получить при С=0 заключаем, что y=С-общее решение ЛОУ.

б)реш-е ЛНО- метод вариации произвольной постоянной С.

Ф-я С(x)- такова, что при подстановке y=С(x) и y'= С’(x) С(x) в исходное выражение, оно обращалось в тождество на интервале a<x<b, те

С’(x)f(x)

C(x)=+C, где С- произвольная постоянная.

Подставляя вместо С(x) полученное выражение, находим общее решение ЛУ на интервале { a<x<b, -∞<y<+∞}:

y=( +C)

Yон=Yоо+Yчн

2Способ) ур-е Бернулли

y= u(x)v(x) (u,v- неизвестные ф-ии). Исходное ур-е преобразуется к виду u'v+uv'+p(x)uv=f(x).

Одна из ф-й может быть выбрана совершенно произвольно, лишь бы произведение uv=y. Так, например v= любое частное решение ур-я v'+p(x)v=o.

Например, v=, обращающее u в 0.

Тогда u'=f(x)/v=f(x)

u= +C

Общее решение исходного ур-я=y= uv=(C+.

42. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. Фср. Определитель Вронского и его свойства.

ЛДУ n-ого порядка- ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ии и ее производных и имеет вид

a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=φ(x)|: a0(x)

φ(x)=0- ЛОУ

φ(x)≠0- ЛНОУ

y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn-1(x)y’+pn(x)y=g(x)- (1)ур-е в приведенном виде

Для ЛОУ:

*если y1- решение ЛОУ, то С y1, где С- произвольная постоянная также является решением этого ур-я.

*Сумма y1+ y2 решений ЛОУ является решением того же ур-я.

10Линейная комбинация с произвольными постоянными реш-й y1, y2,…, ym ЛОУ является реш-ем того же ур-я.

*если ЛОУ (1) с действительными коэффициентами pi(x)∈R имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x),то действительная часть этого решения Rey=u(x) и его мнимая часть Imy=v(x) в отдельности являются решениями одного и того же ур-я.

Ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно зависимыми на некотором интервале (a,b), если существуют постоянные величины a1,a2,…,an≠0 такие, что для всех x интервала (a,b) справедливо тождество a1 y1(x)+a2 y2(x)+…+an-1(x)y’+an yn(x)=0. Если ф-ии линейно завис.,то хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.

Если же тождество справедливо лишь при a1=a2=…=an=0, то ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно независимыми на интервале (a,b).

*если ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель(о. Вронского)

W(x)=W[y1, y2,…, yn]==0 на этом интервале.

Условие линейной независимости частных решений:

* если линейно независимые ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) являются решениями ЛОУ (1) с непрерывными на интервале (a,b) коэффициентами pi(x), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a,b) не= 0.

Общим решением ЛОУ (1) с непрерывными на (a,b) коэффициентами pi(x) (i=1,2,…,n) является линейная комбинация yоо= n линейно независимых на том же интервале частных решений yi с произвольными постоянными коэффициентами.

10максимальное число линейно независимых решений ЛОУ равно его порядку.

ФСР- любые n независимых частных реш-й ЛОУ n-ого порядка.

*y=yoo+yчн

43. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

ЛНДУ решаются методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение однородного уравнения , имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение . Затем решение уравнения находится в виде , т.е. предполагается, что постоянные С явл ф-ми независимой переменной х. При этом ф-и С1(х) и С2(х) могут быть получены как решение системы

Уоноочн

максимальное число решений уравнения равно его порядку.

общее решение

44*. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).

Уравнение вида y'+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a<x<b называется ЛДУ 1ого порядка.

Если f(x)= 0, то уравнение называется однородным.

Если в ЛО ур-ии y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn-1(x)y’+pn(x)y=0

Все коэффициенты pi постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=ekx, где k- постоянная. Подставляя в ур-е

(kn+p1kn-1+….+pn-1 k+ pn) ekx=0

Сокращая на ekx получаем так наз. Характеристическое ур-е

kn+p1kn-1+….+pn-1 k+ pn =0

Это ур-е n-ой cтепени определяет те значения k, При которых y= ekx является решение исходного ДУ с постоянными коэф-ами.

1.k1, k2,…,kn –вещественные и различные

ФСР: ek1x, ek2x,…, eknx

2. k1= k2=…=km=k~,

k~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные

ФСР: e k~ x,x e k~ x,…, xm-1 e k~ x, e km+1 x, e kn x

  1. k1=α+iβ, k2= α-iβ, k3=γ+iδ, k4= γ-iδ, остальные корни вещественные

ФСР: eαxcosβx, eαxsinβx, eγxcosδx, eγxsinδx, ek5x,…, eknx

  1. Если k1=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k2= α-iβ также будет m-кратным корнем

ФСР: eαxcosβx, eαxsinβx, xeαxcosβx, xeαxsinβx,xm-1 eαxcosβx, xm-1 eαxsinβx,…, ek2m+1x,…, eknx

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.