4.1.5. Алгоритмы нахождения нод и мультипликативного обратного по модулю

Алгоритм Евклида

Алгоритм А. (Алгоритм Евклида в современной редакции). По данным неотрицательным целым числам u и v этот алгоритм находит их наибольший общий делитель.

A1. [v = 0?] Если v = 0, то выполнение алгоритма заканчивается, а в качестве результата возвращается число u.

A2. [Взять u mod v.] Присвоить r ¬ u mod v, u ¬ v, v ¬ r и вернуться к шагу A1. (В результате выполняемых на этом шаге операций значение v уменьшается, значение НОД(u, v) остается неизменным.)

Бинарный алгоритм НОД.

Алгоритм B. (Бинарный алгоритм нахождения наибольшего общего делителя). По данным неотрицательным целым числам u и v этот алгоритм находит их наибольший общий делитель. (Использует знаковое представление чисел).

B1. [Найти степень 2.] Присвоить k ¬ 0, затем повторно присваивать k ¬ k + 1, u ¬ u / 2, v ¬ v / 2 нуль или более раз до тех пор, пока одно или оба числа u и v станут нечетными.

B2. [Начальная установка.] (Исходные значения чисел u и v уже разделены на 2^k, и по крайней мере одно из текущих значений нечетно.) Если нечетно u, то присвоить t ¬  v и перейти к шагу B4. В противном случае присвоить t ¬ u.

B3. [Уменьшить t наполовину.] (Здесь t четно и не нуль.) Присвоить t ¬ t / 2.

B4. [t четно?] Если t четно, то вернуться к шагу B3.

В5. [Установить max(u, v) заново.] Если t > 0, то присвоить u ¬ t, в противном случае присвоить v ¬  t. (Большее из чисел u и v заменяется на |t| за исключением, возможно, первого выполнения этого шага.)

B6. [Вычесть.] Присвоить t ¬ u – v. Если t  0, то вернуться к шагу B3. В противном случае алгоритм останавливает выполнение, а на выходе будет u · 2^k.

Рис.33. Бинарный алгоритм НОД

Расширенный алгоритм Евклида.

Алгоритм X. (Обобщенный алгоритм Евклида). Для заданных целых чисел u и v этот алгоритм определяет вектор (u₁, u₂, u₃), такой, что uu₁ + vu₂ = u₃ = НОД(u, v). В процессе вычисления используются вспомогательные векторы (v₁, v₂, v₃), (t₁, t₂, t₃); действия производятся таким образом, что в течение всего процесса вычисления выполняются соотношения

ut₁ + vt₂ = t₃ uu₁ + vu₂ = u₃ uv₁ + vv₂ = v₃.

X1. [Начальная установка.] Присвоить (u₁, u₂, u₃) ¬ (1, 0, u), (v₁, v₂, v₃) ¬ (0, 1, v).

X2. [v3 = 0?] Если v3 = 0, то выполнение алгоритма заканчивается.

X3. [Разделить и вычесть.] Присвоить , затем присвоить

(t₁, t₂, t₃) ¬ (u₁, u₂, u₃) – (v₁, v₂, v₃) · q,

(u₁, u₂, u₃) ¬ (v₁, v₂, v₃),

(v₁, v₂, v₃) ¬ (t₁, t₂, t₃).

Возвратиться к шагу X2.

Расширенный бинарный алгоритм НОД.

Алгоритм Y. Модификация алгоритма X с использованием принципов алгоритма B. Для заданных целых чисел u и v этот алгоритм определяет вектор (u₁, u₂, u₃), такой, что uu₁ + vu₂ = u₃ = НОД(u, v). В процессе вычисления используются вспомогательные векторы (v₁, v₂, v₃), (t₁, t₂, t₃); в течение всего процесса вычисления так же, как и в X выполняются соотношения

ut₁ + vt₂ = t₃ uu₁ + vu₂ = u₃ uv₁ + vv₂ = v₃.

(Использует знаковое представление чисел).

Y1. [Найти степень 2.] То же, что в шаге B1.

Y2. [Начальная установка.] Присвоить (u₁, u₂, u₃) ¬ (1, 0, u), (v₁, v₂, v₃) ¬ (v, 1 – u, v). Если число u нечетно, присвоить (t₁, t₂, t₃) ¬ (0, –1, –v) и прейти к шагу Y4. В противном случае присвоить (t₁, t₂, t₃) ¬ (1, 0, u).

Y3. [Выполнить половинное деление t₃.] Если t₁ и t₂ четны, присвоить (t₁, t₂, t₃) ¬ (t₁, t₂, t₃)/2; иначе присвоить (t₁, t₂, t₃) ¬ (t₁ + v, t₂ – u, t₃)/2. (В последнем случае t1 + v и t2 – u будут оба четными.)

Y4. [t₃ четно?] Если t₃ четно, вернуться к шагу Y3.

Y5. [Переустановить max(u₃ v₃).] Если t₃ положительно, присвоить (u₁, u₂, u₃) ¬ (t₁, t₂, t₃); иначе присвоить (v₁, v₂, v₃) ¬ (v – t₁, – u – t₂, – t₃).

Y6. [Вычесть.] Присвоить (t₁, t₂, t₃) ¬ (u₁, u₂, u₃) – (v₁, v₂, v₃). Затем, если t₁  0, присвоить (t₁, t₂) ¬ (t₁ + v –, t₂ – u). Если t3  0, вернуться к шагу Y3. В противном случае закончить выполнение алгоритма с результатом, равным (u₁, u₂, u₃ · 2^k).