Теоретические распределения в анализе вариационных рядов

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распре­деления и сопоставления их с теоретическими в статистике часто пользу­ются нормальным распределением, функция которого равняется

(7.75)

где у, - ордината кривой нормального распределения;

t = ^x~^x - стандартизованное отклонение;

о сия - математические постоянные;

х - варианты вариационного ряда;

л - их средняя величина;

О - среднее квадратическос отклонение.

Нормальное распределение полностью определяется двумя пара­метрами - средней арифметической (х) и средним квадратическим отклонением о. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распре­деления очень близко подходит к нормальному.

Такая закономерность проявляется, например, в распределении отклонений в производственном процессе при нормальном уровне организации и технологии, в распределении населения определенно­го возраста по размеру обуви и т.д.

268

Часто возникают распределения, хотя и не отвечающие строго нормальному распределению, но имеющие с ним сходство. Такие сход­ные черты часто обусловлены тем, что крайние значения вариантов, близкие к х^ и х^, встречаются много реже, чем серединные.

Рассмотрим некоторые свойства кривой нормального распреде­ления:

• ЛО - функция нормального распределения - четная, т.е../(-()³⁼

=У(+(). Следовательно, изображающая ее кривая распределена симметрично относительно оси ординат, т.е. х == Мо = Me;

• функция имеет бесконечно малые значения при f = ±°о. Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и асимпто­тически приближаются к оси абсцисс. При этом чем больше зна­чения признака отклоняются от х, тем реже встречаются;

• функция имеет максимум при (= О.Отсюда следует, что модаль­ного значения кривая достигает при / = 0 или при х = х. Величи­на максимума составляет l / -Tin ;

• при ( = ±1 функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признака (х) от среднего значения (х) в положительном и отрицательном направлениях на одно стан­дартное (нормированное) отклонение (±0 от х) кривая дает пе-. реход от выпуклости к вогнутости;

• если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих каждая нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону;

• площадь между кривой и осью о/ равна единице, как интеграл

Пуассона.

Пример. Рассмотрим данные распределения образцов крепости одиночной нити (табл. 7.16).

Поскольку нормальное распределение зависит от двух парамет­ров: х и о, прежде всего определим соответствующие характеристики.

В графах 1 и 2 табл.7.16 приведены фактические варианты и час­тоты. Расчет х и о произведен обычным способом.

Для расчета частот нормального распределения 500 образцов крепо­сти нити со средней х = 64,66 г и средним квадратическим отклонением О = 3,1 г необходимо использовать формулу плотности вероятности:

(7.76) 269

Чтобы прийти к частотам нормального распределения^, необхо­димо выразить их через Р^.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нор­мируются, а затем используются заранее табулированные значения плотности функции распределения нормированной случайной вели­чины. Первый множитель такой функции - величина постоянная для

- KLf 2-500 ,„, _.,__,

данного распределения. В нашем случае: —— =—— = 322,6, во вто-о 3,1

ром множителе выражение ^х-х обозначим через /, тогда получим:

о

Полученную функцию от t обозначим^):

(7.77)

В математической статистике существуют специальные таблицы для любых значений fit) (приложение 8).

KLf

Таким образом, /т = —- • /(0 очень легко рассчитать, определив о

у _ у

для каждого значения варианта х' величину г = —— (графа 5) и най-

о дя по таблицам соответствующие fif) (графа 6). Умножив fit) на по-

klf стоянный для всех частот множитель ——, получим теоретические

о частоты нормального распределения /^(графа 7).

Сравнивая полученные /„ (графа 7) с фактическими частотами/ (графа 2), убеждаемся, что их расхождения невелики. На графике, представленном на рис.7.7, видна довольно большая близость факти­ческих частот распределения к теоретическим.

271

Рис. 7.7. Эмпирические и теоретические данные распределения крепости одиночной нити в 500 образцах

В то же время нельзя не отметить, что сопоставление графика эмпирических частот с теоретическими в целях определения соот­ветствия эмпирического распределения нормальному позволяет оце­нивать эти расхождения только субъективно. Объективная характе­ристика соответствия может быть получена с помощью особых статистических показателей - критериев согласия. Известны крите­рии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В.И. Романовского, А.Н. Кол­могорова и Б.С. Ястремского.

Критерий согласия Пирсона (х²) вычисляется по формуле:

(7.78)|

где /з и/,, - эмпирические и теоретические частоты соответственно. '272

С помощью величины у¹ по специальным таблицам приложения 3 определяется вероятность Р(х²)- Входами в таблицу являются зна­чения 5С² и число степеней свободы у = п - 1. На основе Р выносится суждение о существенности или несущественности расхождения меж­ду эмпирическим и теоретическим распределением. При Р > 0,5 счи­тается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки, при Р е [0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в осталь­ных случаях - недостаточное.

Если число степеней свободы большое, то применяется соотно­шение, равное \2х - ^/2у-1 . Расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями существенно при значениях этой

разности, заметно превосходящих 2.

Критерий Романовского (С), также используемый для проверки близости эмпирического и теоретического распределений, определя­ется следующим образом:

(7.79)

где х² - критерий Пирсона, рассчитываемый по формуле (7.78);

7 - число степеней свободы (при проверке гипотезы о нормальности рас­пределения равно числу групп минус три).

При С < 3 различие несущественно, что позволяет считать эмпи­рическое распределение близким к нормальному.

Критерий Ястремского (L) может быть найден на основе следу­ющего соотношения:

(7.80)

Где N - объем совокупности;

pq - дисперсия альтернативного признака;

К - число вариантов или групп;

Q - принимает значение 0,6 при числе вариантов или групп от 8 до 20.

279

Если L > 3, то эмпирическое распределение соответствует теоре­тическому.

Критерий Колмогорова (k) вычисляется по формуле:

(7.81)

где D

максимальное значение разности между накопленными эмпирически­ми и теоретическими частотами;

•' If — сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования этого критерия является достаточно большое число наблюдений (не меньше ста).

Рассмотрим применение критерия Колмогорова (табл. 7.17).

Пример. Как видно из табл. 7.17, максимальное значение разно­сти между эмпирическими и теоретическими частотами составляет 7, т.е. D = 1.

Следовательно, величина критерия Колмогорова в нашем случае равна:

По специальным таблицам вероятностей Р(\) определяем, что \ соответствует Р(х), близкой к 1,000. Это означает, что с вероятнос­тью, близкой к 1, можно утверждать, что отклонения фактических частот от теоретических в нашем примере являются случайными. Следовательно, в основе фактического распределения образцов по крепости нити лежит закон нормального распределения.

В статистике широко используются различные виды теоретичес­ких распределений, кроме нормального распределения, - биномиаль­ное распределение, распределение Пуассона и др. Каждое из теоре­тических распределений имеет специфику и свою область применения в различных отраслях знания.

Рассмотрение других видов распределения, кроме нормального, не является предметом изучения в данной главе.

274

Таблица 7.17