Удельный вес основных рабояях фирмы

Цех	Удельный вес основных рабочих, %, pi	Численность всех рабочих, чел., щ
1	80	100
2	75	200
3	90	150
Итого	-	450

1. Определим долю основных рабочих в целом по фирме (форму­ла 7.48):

2. Общая дисперсия доли основных рабочих по всей фирме в це­лом равна (формула 7.49):

250

3. Внутрицеховые дисперсии рассчитаем, применив формулу (7.45):

4. Средняя из внутригрупповых дисперсий будет равна (форму­ла 7.46):

~Г 0,1б.100+0,19-200+0,09-150 365 -,.

0_ =———————————————————=——=0,15.

Pi 450 450

5. Межгрупповую дисперсию определим по формуле (7.47); , г'

Проверка вычислений показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

7.6

Структурные характеристики вариационного ряда распределения. Показатели дифференциации

Рассмотренные обобщающие показатели центра распределения и степени вариации не дают понятия о форме распределения, т.е. не вскрывают характера последовательного изменения частот. Для вы­ражения особенностей формы распределения применяются показа­тели дифференциации, основанные на структурных (ранговых") по­казателях распределения.

См.: Виноградова Н.М. Й"др. Общая теория статистики.'-"Al.: Стюястика, 1968.-С.177. .

251

Структурные показатели. В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступа­ют варианты, занимающие определенное место (каждое четвертое, пятое, десятое, двадцать пятое и т.д.) в ранжированном вариацион­ном ряду. Такие показатели носят общее название квантилей, или градиентов.

Некоторые квантили имеют особые наименования: квартили, квин­тили, децили и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжи­рованную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квар­тиль нижний (0,), отделяющий '/, часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (0д), отсекающий '/, часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц со­вокупности будут меньше по величине 0р 25% единиц будут заключе­ны между б, и Qy 25% - между Q^ и Q^ и остальные 25% превзойдут Qy Вторая квартиль Q^ является медианой. Вычисление квартилей ана­логично вычислению медианы (см. раздел 7.2 этой главы).

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы

(7.51)

(7.52)

ще х. - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

ЯМ < х - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал °>h определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

/ - величина интервала;

S- - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер­жащему нижний квартиль;

sq - то же для верхнего квартиля; i ., ,я^ < s„

f„ - частота интервала, содержащего нижний квартиль; , ,..

») -•. .•-• 'iu ifK-^/

/д - то же для верхнего квартиля. ',! Э-.1

252

Пример. Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным, характеризующим коммерческие банки по срокам функцио­нирования (см. табл. 7.3). Определим номер 0для 1-го и 3-го квартилей:

Применяя способ расчета, аналогичный медиане по ряду накоп­ленных частот, определим, что:

Итак, 25% банков имеют срок функционирования менее 3 лет, 25% банков - свыше 3 лет, а остальные имеют срок функционирования в пределах от 3 до 5,3 года.

Квинтили делят распределение на пять равных частей.

Децили (d) - это значения вариант, которые делят ранжирован­ный ряд на десять равных частей: 1-й дециль (d^) делит совокупность в соотношении '/,ц к ''/,„, 2-й дециль (dy) - в соотношении ^д к '/щ и т.д.

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:

(7.53)

(7.54)

и т.д.

253

(7.55)

Пример. Продолжим пример с распределением коммерческих банков по сроку функционирования (см. табл. 7.3). Рассчитаем 1-й и 9-й децили.

Определим номер для 1-го и 9-го децилей:

По ряду накопленных частот определяем, что:

Это означает, что 10% коммерческих банков имеют срок функци­онирования менее 2 лет, а 90% банков имеют срок функционирования свыше 2 лет.

Это означает, что 90% банков имеют срок функционирования мень­ше 7 лет, а 10% банков имеют срок функционирования свыше 7 лет.

Значения признака, делящие ряд распределения на сто частей, называются перцентилями. Слово «перцентиль» относится непосред­ственно к элементу распределения или к значению, промежуточному между двумя элементами. Для того чтобы указать местоположение конкретного наблюдения, в распределении указывается так называе­мый перцентильный ранг; он равен сумме процентов, приходящихся на наблюдения, которые в распределении стоят ниже его, и половине процентов, которые приходятся на него непосредственно.

254

Пример. На курсе занимается 50 студентов, студент Иванов по­лучил оценку на экзамене выше, чем 17 его товарищей. Найдем пер­центильный ранг оценки студента Иванова. Вначале отметим, что 34% оценок в распределении ниже оценки Иванова (17:50 = 0,34).

Оценка студента Иванова составляет 2% от всех оценок распре­деления (1 : 50 = 0,02). Таким образом, перцентильный ранг оценки Иванова равен 34 плюс половина от 2, следовательно, 35. Элемент распределения с перцентильным рангом, равным 35, называется 35-м перцентилем. Элемент с перцентильным рангом 74 - 74-м перценти-лем и т.д. Перцентильные ранги дают возможность проведения неко­торых сопоставлений между элементами различных распределений.

Изложенный выше метод нахождения перцентилей можно пред­ставить с помощью следующей формулы:

(7.56)

где Р^ - обозначение я-го перцентиля;

L - нижняя граница интервала;

S - число оценок, необходимое попасть в точку на горизонтальной оси, которая соответствует данному перцентилю;

i - расстояние от нижней границы L до верхней границы L +1 (шаг ин­тервала);

/ - число оценок, расположенных в интервале от L до Z.+1.

Пример. Чтобы использовать формулу (7.56), рассмотрим следу­ющий ряд распределения оценок учеников за диктант в табл. 7.13.

Например, по данным табл.7.13 нужно найти 35-й перцентиль. Вначале находим точку, в которой сумма накопленных частот соста­вит 35% от 1000, или 350.Из графы 2 видно, что эта сумма находится в интервале между значениями 47-55.

Найдем 35-й перцентиль по формуле (7.56).

Полученный результат означает, что 35% оценок учеников за дик­тант имеют баллов меньше, чем 52,6, и 65% оценок учеников имеют баллов больше, чем 52,6. Таким образом, слово «меньше, чем» отно­сится к верхней границе каждого интервала.

255

Таблица 7.13