7.7 Моменты распределения

Для подробного описания особенностей распределения использу­ются дополнительные характеристики, в частности, определяются мо­менты распределения. Способ моментов был разработан русским ма­тематиком П.Л. Чебышевым и успешно применен А.А. Марковым для рассмотрения возможностей использования закона нормального рас­пределения при изучении сумм большого, но конечного числа незави­симых случайных величин.

Моментом k-го порядка называется средняя из k-x степеней от­клонений вариантов х от некоторой постоянной величины А:

(7.61)

При исчислении средней в качестве весов могут быть использо­ваны частоты, частости или вероятности. При использовании в каче­стве весов частот или частостей моменты называются эмпирически­ми, а при использовании вероятностей — теоретическими.

259

Порядок момента определяется величиной k. Эмпирический мо­мент k-го порядка определяется как отношение суммы произведений k-x степеней отклонений вариантов от постоянной величины А на частоты к сумме частот:

(?»2)

В зависимости от выбора постоянной величины А различают три вида моментов:

1. Начальные моменты (М^) получаются, если постоянная вели­чина А равна нулю (Л = О):

(7.63)

2. Условные и начальные относительно Ху моменты (т^) получа­ются при А равном не нулю, а некоторой производной величине Ху (начало отсчета):

(7.64)

С помощью условных моментов упрощается расчет основных характеристик ряда распределения. При подстановке различных зна­чений k получаем начальные моменты относительно Ху. Так, напри­мер, если <:= 1, то: И

260

Из этой формулы вытекает, что х = х.+т , т.е. средняя арифмети­ческая равна началу отсчета плюс начальный момент первого поряд­ка. Если отклонения (х^- х^) имеют общий множитель С, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислить полученный момент, умножив на этот множитель в соответствующей степени, т.е.:

(7.65)

Отсюда следует, что при k = 1 х = хЛт. • С. 3. Центральные моменты (р.,) получаются, если за постоянную величину А взять среднюю арифметическую (А ^аг ж):

(7.66)

В статистической практике пользуются в основном моментами 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков, которые представлены в табл. 7.14.

Таким образом, анализируя формулы моментов распределения в табл. 7.14, можно сделать следующие выводы:

• начальный момент первого порядка представляет собой сред­нюю арифметическую и используется как показатель центра рас­пределения (М, = х);

• начальные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют само­стоятельного значения, а используются для упрощения вычис­лений центральных моментов. Например, используя начальные моменты 1-го и 2-го порядка, можно получить дисперсию по такой формуле':

(7.67)

См.: Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статисти­ки. - М.; Инфра-М, 1997. - С. 137.

U1

Таблица 7.14 Виды моментов распределения четырех порядков

^^ Вцды ^.моментов Порядок -s^	Начальные	Центральные	Условные
1-й	..^ifi.T	ZOr, -?)•/,	Цх,-А)/,
	м\ У. ~x	'1- ^	^
2-й	^ Т	Ц,,-?)2./,	£(<i-A)2/,
	Mi =—'—=.( 9(	'2- Г/,	ЗУ,
3-й	^fi э	Г(,,-.)3./,	Z«,-A)3/,
	^з- ^ -	£/,	У.
4-й	^ -г	£«.-7)4./,	£(x,-A)4/;
	М4 = —•— = .с ^.	/(4 =——————— Vi	^

• центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю в соответ­ствии с нулевым свойством средней арифметической (^ = 0);

• центральный момент 2-го порядка представляет собой диспер­сию и служит основной мерой колеблемости признака (^= <т²);

• центральный момент 3-го порядка служит мерой асимметрии распределения, а если распределение симметрично, он равен нулю (/^=0);

• центральный момент четвертого порядка применяется при вы­числении показателя эксцесса;

• условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют са­мостоятельного значения, а используются для упрощения вы-

'' 'числений центральных моментов. •^ж'

,М