Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы. Правило сложения дисперсий

Изучая вариацию по всей совокупности в целом и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуаль­ных значений признака. Это можно сделать при помощи аналитичес­кой группировки, разделив изучаемую совокупность на однородные группы по признаку-фактору. При этом можно определить три пока­зателя колеблемости признака в совокупности: дисперсию общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

242

Общая дисперсия о² измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

(7.37)

Межгрупповая дисперсия (5²) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникаю­щие под влиянием признака-фактора, положенного в основание груп­пировки. Она рассчитывается по формуле

(7.38)

где k - число групп;

я - число единиц ву-й группе;

х - частная средняя по j-тл группе;

'X - общая средняя по совокупности единиц.

Внутригрупповая дисперсия (ст²) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факто­ров и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

(7.39)

По совокупности в целом вариация значений признака под влия­нием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий (о²):

24)

(7.40)

Между общей дисперсией о² ₀ средней из внутригрупповых дис­персий сигма ср² и межгрупповой 5² дисперсией существует соотношение, определяемое правилам сложения дисперсий. Согласно этому прави­лу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и меж­групповой дисперсий:

(7.41)

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под дей­ствием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или прове­рить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения меж­групповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называ­ется эмпирическим коэффициентом детерминации (г|²):

(7.42)

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дис­персию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детермина­ции носит название эмпирического корреляционного отношения (Т():

(7.43)

244

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в ос­нование группировки, на вариацию результативного признака. Эмпи­рическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если Т} = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на ре­зультативный. Если т) = 1, то результативный признак изменяется толь­ко в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным зна­чениям.

Пример. Рассмотрим правило сложения дисперсий. Имеются дан­ные об объеме выполненных работ проектао-изыскательными орга­низациями на предприятиях разных форм собственности (табл. 7.10).

Таблица 7.10

Организация	Объем выполненных работ на предприятиях, млн руб.
	государственных	коммерческих
1	420	3 980
2	690	6120
3	790	6030
4	950	7790
5	580	5050
Итого	3430	28970

Алгоритм решения следующий:

1. Определим средний объем выполненных работ на предприяти­ях двух форм собственности: