1.3. Связь между напряженностью и потенциалом

Консервативная сила связана с потенциальной энергией соотношением:

.

Так как электростатическая сила является консервативной, подставляя в эту формулу выражения (1.1) и (1.2), получим

, (1.4)

где , . Таким образом, . Учитывая , можно записать Выбрав произвольное направление , получим Таким образом, по известным значениям потенциала можно найти напряженность поля в каждой точке.

Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям Е в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками:

.

1.4. Линии напряженности и поверхности равного потенциала

Для графического изображения электрического поля используют линии напряженности (силовые линии) и поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности).

Силовые линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна величине Е.

Линии Е начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных (либо уходят в бесконечность). Если Е = const, то это однородное электрическое поле. Силовые линии однородного поля параллельны и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Э квипотенциальная поверхность – поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Так как при движении вдоль такой поверхности в любой ее точке, то градиент направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Следовательно, в соответствии с формулой (1.4) вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

1.5. Проводники в электростатическом поле

Проводники – вещества, хорошо проводящие электрический ток. В них электрические заряды могут свободно перемещаться по всему объему под действием внешнего электрического поля. К проводникам относятся металлы, электролиты и плазма. В металлах носителями зарядов являются свободные электроны проводимости, в электролитах – ионы, в плазме – свободные электроны и ионы.

Если металлический проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле.

Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля называется явлением электростатической индукции, а сами заряды, возникающие на концах проводника – индуцированными.

Перемещение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока поле во всех точках внутри проводника не обратится в ноль: . Избыточные (нескомпенсированные) заряды располагаются только на поверхности проводника с некоторой плотностью σ. Т.к. внутри проводника , то

.

Таким образом, область, занятая проводником является эквипотенциальной. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке, т.е.

, (1.5)

где σ – поверхностная плотность зарядов.

Так как поверхность заряженного проводника эквипотенциальна, то эквипотенциальные поверхности вблизи проводника приблизительно повторяют его форму, в то время как на больших удалениях от проводника они должны иметь сферическую форму, подобно полю точечного заряда. Это означает, что потенциал поля, создаваемого заряженным проводником, вблизи участков поверхности, имеющих малый радиус кривизны R (вблизи острия), изменяется быстрее, чем вблизи участков с большим радиусом кривизны, а тем более вблизи впадин на поверхности (участков с отрицательным R < 0). Значит, gradφ, а следовательно, и Е поля имеют большие значения вблизи острия проводника и меньшие вблизи впадин (Е = – gradφ). Поэтому в соответствии с формулой (1.5) σ на проводнике больше в области острия и меньше в области впадин, т.е. заряд на поверхности проводника распределяется неравномерно в соответствии с формой его поверхности. Это приводит к «стеканию» зарядов с металлического острия («электрический ветер»). Для предотвращения стекания зарядов у всех приборов и машин, работающих под высоким напряжением металлические части делают закругленными, а концы металлических стержней снабжены шариками.