6.2. Затухающие колебания

Реальный контур обладает активным сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают.

По закону Ома имеем:

–

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решение этого уравнения:

– частота затухающих колебаний; β – коэффициент затухания. q_m = A – амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону:

где А₀ – начальная амплитуда. Таким образом, амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического коэффициента затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина λ, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T (Т – период колебаний):

где τ – время релаксации, N_e – число колебаний, совершаемых за время релаксации τ.

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации:

.

Для характеристики затухания часто пользуются кроме логарифмического декремента затухания λ еще другой величиной, называемой добротностью контура Q.

Добротность Q связана с λ соотношением: т.к. , то .

Таким образом, добротность контура Q – есть умножение на π числа полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Следовательно, Q контура тем выше, чем меньше затухание колебаний в контуре.

6.3. Вынужденные колебания

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными электромагнитными колебаниями.

ε = ε_mCosωt; IR + U_C = ε_S + ε; ;

дифференциальное неоднородное уравнение 2-го порядка относительно q.

Решение этого уравнения: q = q_mCos(ωt – ψ),

где

В эти формулы подставляем значения β и ω₀:

.

– омическое или активное сопротивление – сопротивление проводников, одинаковое как для постоянного, так и для переменного тока. Величина R определяется свойствами проводника.

Кроме активных сопротивлений R, в цепях переменного тока имеются реактивные сопротивления: X_L и X_C. Они отличаются от активных сопротивлений тем, что не преобразуют электрическую энергию в тепловую.

Геометрическая сумма активных и реактивных сопротивлений называется полным сопротивлением Z (импедансом).

X_L =ωL – реактивное индуктивное сопротивление (или просто индуктивное);

– реактивное емкостное сопротивление (или просто емкостное).

С и L – реактивные элементы. X = X_L – X_C – реактивное сопротивление.

– импеданс.

Обозначим φ = ψ – π/2, тогда

I = I_mCos(ωt – φ),

где амплитуда тока – закон Ома.

Таким образом, φ – сдвиг по фазе между током I и приложенной ЭДС ε = ε_m cosωt, т.е. ток отстает от ЭДС на угол φ.

По 2-му правилу Кирхгофа: U_R + U_C + U_L = ε_m cosωt, где

Таким образом, эти формулы показывают, что напряжение на конденсаторе U_C отстает по фазе от тока на угол π/2, а напряжение на катушке U_L опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении U_R изменяется в фазе с током.

На рисунке приведена векторная диаграмма последовательного соединения элементов.

Установившиеся вынужденные колебания – это и есть переменный ток.