4.3. Содержание и последовательность прохождения учебного материала

4.3.1. Краткое содержание лекционного курса

Лекция 1. Тема: Аналитическая геометрия на плоскости (2 часа)

Основные положения: Уравнение линии на плоскости, различные уравнения прямой на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости, угол между двумя прямыми на плоскости, кривые 2-го порядка, их основные свойства.

План:

1. Уравнение линии на плоскости

2. Прямая линия. Различные уравнения прямой

2.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

2.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

2.3. Уравнение прямой в отрезках

2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

2.6. Общее уравнение прямой

3. Взаимное расположение прямых

3.1. Угол между двумя прямыми

3.2. Условие параллельности прямых

3.3. Условие перпендикулярности прямых

4. Кривые второго порядка

4.1. Окружность

4.2. Эллипс

4.3. Гипербола

4.4. Парабола

Вопросы для самопроверки:

1. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

2. Как выглядит условие параллельности и перпендикулярности двух прямых?

3. Как выглядит уравнение высоты в треугольнике, если известны координаты его вершин?

4. Сформулируйте определение окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Каковы канонические уравнения этих линий?

5. Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы?

Лекция 2. Тема: Дифференцирование функций (2 часа)

Основные положения: понятия функции, предела функции, производной функции, геометрический смысл производной, механический смысл производной, производные высших порядков, производная сложной функции, правила дифференцирования, дифференциал функции, применение производной к исследованию функции.

План:

1. Понятие функциональной зависимости и способы ее представления

2. Предел функции

2.1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

2.2. Предел функции в точке

3. Бесконечно малые функции и их свойства

4. Теоремы о действиях над пределами

5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

6. Понятие производной функции

7. Геометрический смысл производной

8. Механический смысл производной

9. Правила дифференцирования

10. Таблица производных элементарных функций

11. Производные высших порядков

12. Дифференциал функции

13. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

13.1. Возрастание и убывание функции

13.2. Экстремум функции

13.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

13.4. Выпуклость, вогнутость функции

13.5. Точки перегиба функции

14. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте понятие функциональной зависимости. Приведите примеры такой зависимости из области ФК.

2. Перечислите способы представления функциональной зависимости.

3. Сформулируйте определение производной.

4. Каков геометрический смысл производной?

5. В чем заключается механический смысл производной?

6. Каковы правила вычисления производных от суммы, произведения, частного двух функций?

7. Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.

8. Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?

9. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

10. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции.

11. Приведите пример, показывающий, что обращение в нуль производной не является достаточным условием экстремума функции.

12. Как найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба кривой?

Лекция 3. Тема: Интегрирование функций (2 часа)

Основные положения: понятие неопределенного интеграла, основные методы интегрирования, понятие определенного интеграла, формула Ньютона – Лейбница, приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

План:

1. Неопределенный интеграл и его свойства

2. Таблица основных интегралов

3. Основные методы интегрирования

3.1. Непосредственное интегрирование

3.2. Метод замены переменной

3.3. Метод интегрирования по частям

4. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла

5. Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

6. Приложение определенного интеграла

6.1. Вычисление площадей плоских фигур

6.2. Вычисление объемов тел вращения относительно оси OX и оси OY

6.3. Вычисление пути, пройденного точкой

Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте определение первообразной.

2. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

3. Какие методы интегрирования вы знаете?

4. Дайте определение определенного интеграла.

5. Каков геометрический смысл определенного интеграла от заданной функции?

6. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

7. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

8. Приведите примеры задач, которые решаются с помощью определенных интегралов.