Варианты самостоятельной работы для осуществления текущего контроля уровня знаний студентов

СРС№1

Тема: «Дифференцирование и интегрирование функций»

Срок выполнения – 2 недели

Рейтинговая оценка СРС№1

№ задания	Баллы
	удовлетворительно	хорошо	отлично
Задание №1	0,25	0,50	0,75
Задание №2	0,25	0,50	0,75
Задание №3 а) б) в)	0,25 0,25 0,25	0,50 0,50 0,50	0,75 0,75 0,75
Задание №4	0,25	0,50	0,75
Задание №5	0,50	0,75	1,00
∑= ∑=	2,00	3,75	5,50

Критерии оценки уровня знаний по СРС№1:

удовлетворительно – за частичное соблюдение требований к оформлению СРС, решение примеров без обоснования этапов с учетом 2-3 несущественных ошибок или 1 существенной, неаккуратное выполнение записей решений;

хорошо – за соблюдение требований к оформлению СРС, подробное решение примеров без обоснования этапов, верное выполнение нужных вычислений и  преобразований, получение верных ответов, не всегда последовательные и аккуратные за­писи решений;

отлично – за соблюдение требований к оформлению СРС, за правильно выбранные способы решения, подробное решение примеров с обоснованием каждого этапа, верное выполнение нужных вычислений и  преобразований, получение верных ответов, последовательные и аккуратные за­писи решений.

Задание 1. Найти предел функции:

Пример индивидуального варианта исходных данных: .

Задание 2. Найти значение скорости и ускорения в момент времени t₀.

Пример индивидуального варианта исходных данных: , .

Задание 3. Определить для функции:

а) промежутки монотонности функции и ее экстремумы;

б) промежутки выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба;

в) наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Пример индивидуального варианта исходных данных: , , .

Задание 4. Применяя метод замены переменной, вычислить неопределенный интеграл.

Пример индивидуального варианта исходных данных: .

Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Пример индивидуального варианта исходных данных: , .

Методические рекомендации к выполнению СРС №1

При изучении темы №2 «Дифференцирование и интегрирование функций» обратите внимание на понятие предела функции. При решении задач на вычисление пределов функции обратите внимание на то, что в определении предела функции не учитывается значение функции в предельной точке, другими словами, величина не зависит от величины . Значение может и не существовать. Отсюда следует, что под знаком предела можно производить тождественные преобразования выражения, не принимая во внимание его поведение в предельной точке. В частности, под знаком предела можно производить сокращения дроби на множитель, обращающийся в нуль в предельной точке (но не равный нулю вблизи этой точки).

Также обратите внимание на определение производной, ее геометрическое истолкование и экономический смысл. Особую роль при решении задач играет правило вычисления производной сложной функции. Усвойте понятия возрастания и убывания функции, максимума и минимума функции, выпуклости и вогнутости кривой. Не следует считать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке (например, в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума). При решении задач на построение графика функции целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием функции.

Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно изучите таблицу интегралов, простейшие свойства неопределенного интеграла и два простейших метода интегрирования: непосредственное интегрирование и замены переменной. Успех интегрирования зависит от того, сумеет ли студент подобрать удачную замену переменной упрощающую данный интеграл. При использовании метода интегрирования по частям очень важно правильно выбрать множители и . Хотя общих правил разбиения подынтегрального выражения на указанные множители нет, тем не менее, можно руководствоваться некоторыми частными правилами. Например, если подынтегральная функция представляет собой произведение показательной или тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя следует выбрать многочлен. Если же подынтегральная функция является произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя следует выбрать логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

К заданию 1. Изучите виды неопределенностей, которые могут возникать при вычислении пределов функций, а также способы избавления от них.

К заданию 2. Изучите механический смысл производной функции и понятие производной n-го порядка.

К заданию 3. Изучите правила исследования функций на монотонность, на экстремум, на выпуклость и вогнутость с помощью первой и второй производной соответственно. При отыскании наибольших и наименьших значений величин следует иметь в виду, что наибольшее и наименьшее значения функция достигает либо на концах отрезка, либо в тех его внутренних точках, которые являются критическими точками первого рода этой функции (точками, подозрительными на экстремум).

К заданию 4. Изучите метод интегрирования с помощью замены переменной и используйте свойства неопределенных интегралов и таблицу интегралов элементарных функций.

К заданию 5. Решение необходимо начинать с построения фигуры, ограниченной данными линиями. В зависимости от расположения фигуры относительно оси OX выбрать формулу для нахождения ее площади.

СРС№2