3.8. Определение хаотического отображения
Рассмотрим
метрическое пространство
с множеством элементов
и расстоянием
.
Определение
3.20.
Отображение
называется хаотическим,
если выполняются следующие условия.
1. Отображение
обладает существенной зависимостью от
начальных данных или сенситивно (если
существует такое число
,
что для любого
и любой точки
найдется точка
и число
такие, что
,
но
).
2. Отображение
транзитивно (для любой пары
открытых множеств существует такое
,
что
).
3. Периодические точки отображения плотны в (в любой окрестности любой точки, принадлежащей , существует, по крайней мере, одна периодическая точка и, следовательно, бесконечно много периодических точек).
Если метрическое пространство полное, то транзитивность (перемешивание) равносильна существованию плотной орбиты.
Пример.
Рассмотрим простейший пример хаотического
поведения. Обозначим через
– окружность
(одномерную сферу) на плоскости
.
В комплексной записи
.
Определим отображение
уравнением:
.
Если же обозначить элементы
как комплексные числа
,
тогда получаем:
,
комплексный квадратичный полином.
Функция , или, что эквивалентно, квадратичная функция , хаотична на окружности .
Существенная
зависимость от начальных данных.
Предположим, что
,
– открытое
множество, содержащее
,
и
– открытая
дуга в
,
содержащая
.
представляет собой дугу, которая имеет
в
раз большую протяженность, чем
,
если допустить многократный обход
окружности. При достаточно большом
,
покрывает всю окружность
.
Для выбранного
существуют точки в
,
и, следовательно, в
,
которые разнесены посредством отображения
,
по крайней мере, на единичное расстояние.
Таким образом, условие существенной
зависимости выполняется при
.
Транзитивность
(перемешивание). Пусть
и
– открытые
множества в
.
Для достаточно большого
получаем, что
покрывает сферу
и поэтому пересекает
.
Периодичность.
Точки
,
имеющие период
,
удовлетворяют равенству
,
то есть они являются корнями из единицы
порядка
.
Множество всех корней такого вида (для
всех
)
плотно в
.
4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
Аналитические методы расчета траекторий нелинейных систем весьма сложны и, как правило, для систем достаточно большой размерности их использование просто невозможно. Поэтому актуальны численные методы определения различных характеристик нелинейных динамических систем, включая расчет траекторий и критериев детерминированного хаоса.
4.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение задачи Коши для автономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений только в исключительных случаях может быть найдено в явном виде. Поэтому для их решения используются численные методы интегрирования, основанные на различных вычислительных схемах.
4.1.1. Решение задачи Коши для автономной системы
Интегрирование нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(4.1)
требует, как
правило, аппроксимации решения различными
линейными функциями на последовательных
малых отрезках времени (шагах) длительности
.
Самым распространенным методом такой
аппроксимации является метод Рунге–Кутта
4‑го порядка, дающий при малых
,
разностные уравнения, аппроксимирующие
решения с точностью
.
Пусть
– уже
найденное приближенное значение решения
системы (4.1) в момент
.
Приближенное значение решения в момент
находится по формуле:
,
где
,
,
,
– значения
правой части решаемого дифференциального
уравнения в соответствующих точках.
Параметры, входящие в разностное
уравнение, могут быть определены
различными способами и принимают
следующие значения:
,
,
,
,
,
,
.
Оценки точности
приближенных решений совпадают, как
правило, с оценками точности аппроксимации
и существенно зависят от длины временного
интервала
,
на котором решается система дифференциальных
уравнений. Например, в методе Рунге–Кутта
4‑го порядка точность решения
,
где
и
–
некоторые постоянные.