5. Управление хаотической динамикой

В разделе изучаются методы управления, идентификации и прогноза систем с хаотической динамикой, необходимые для практического применения систем данного класса.

5.1. Задача управления

Рассматриваются три исторически первых и наиболее активно развивающихся направления: программное управление, основанное на периодическом возмущении системы; метод линеаризации отображения Пуанкаре (метод OGY); метод запаздывающей обратной связи (метод Пирагаса).

5.1.1. Постановка задачи

Возможность существенного изменения свойств хаотической системы при помощи весьма малого изменения параметров вызвала большой интерес исследователей к задачам управления хаотическими процессами.

Задача стабилизации. Эта задача сводится к подавлению хаотических колебаний путем приведения их к регулярным колебаниям, либо полного подавления колебаний. Задача подобного типа возникает при подавлении шумов, вибраций различных конструкций, устранения нежелательных гармоник в системах связи. Задача стабилизации формализуется следующим образом.

Рассмотрим свободное (неуправляемое, ) движение системы

, (5.1)

где  –  ‑мерный вектор состояния;  –  ‑мерный вектор входов (управлений). Пусть это движение является ‑периодическим, т. е. таким, что для всех выполнено . Поставим задачу его стабилизации, т. е. приведения решений системы (5.1) к виду

(5.2)

для любого решения системы (5.1) при начальном состоянии , где  – заданное множество начальных условий.

Задача состоит в нахождении функции управления либо в разомкнутой форме (программное управляющее воздействие)

, (5.3)

либо в форме обратной связи по состоянию

, (5.4)

обеспечивающей выполнение цели управления (5.2). В такой постановке задача стабилизации хаотических процессов совпадает с обычной для теории управления задачей слежения. Принципиальное отличие – управление (5.3) или (5.4) должно обеспечивать достижение цели при достаточно малом уровне управляющего воздействия.

Частным случаем является стабилизация неустойчивого состояния равновесия. Пусть правая часть системы (5.1) удовлетворяет условию . Тогда при система (5.1) имеет состояние равновесия , которое требуется стабилизировать выбором подходящего управления. Специфика задачи состоит в дополнительном требовании «малости» управления.

Задача возбуждения или генерации хаотических колебаний.

Эти задачи называются также хаотизацией или антиуправлением. Такие задачи возникают, когда хаотическое движение является желательным видом поведения системы (генераторы псевдослучайных чисел, источники хаотических сигналов в системах связи и радиолокации). Для подобных задач характерно, что траектория, по которой должен двигаться фазовый вектор системы, заранее не задана, не известна или не имеет значения для достижения цели.

Формально цель управления может быть представлена в виде (5.2), но здесь целевая траектория уже не является периодической. Более того, вместо движения по данной траектории может быть поставлено требование, чтобы управляемый процесс удовлетворял некоторому формальному критерию хаотичности. Например, может быть задана скалярная целевая функция , и поставлена цель управления, состоящая в достижении предельного равенства

. (5.5)

Обычно в качестве целевой функции (5.5) для задач хаотизации берется старший характеристический показатель Ляпунова. Иногда в качестве выбирается полная энергия колебаний.

Задача синхронизации. Задаче синхронизации хаотических процессов уделяется большое значение в системах передачи информации, в биологии и биотехнологиях. В общем случае под синхронизацией понимается согласованное изменение состояний двух, или более, систем, либо, возможно согласованное изменение некоторых их характеристик, например частот колебаний.

Формальным выражением синхронного движения двух подсистем с векторами состояния и может быть полное или частичное совпадение векторов состояния, например, равенство . Это равенство выделяет в объединенном пространстве состояний взаимодействующих подсистем некоторое подпространство (диагональ). Требование асимптотической синхронизации состояний и двух систем можно выразить как

. (5.6)

Относительно совокупного вектора состояний системы в целом, соотношение (5.6) означает сходимость к диагональному множеству .

Особенностью задач управления возбуждением и синхронизацией колебаний является то, что желаемое поведение однозначно не фиксировано, а его характеристики задаются лишь частично. Удобным математическим выражением цели управления в подобных задачах является задание желаемых значений одного или нескольких числовых показателей, например, энергии системы. В задачах синхронизации целью может быть асимптотическое совпадение значений некоторого показателя для обеих систем

. (5.7)

Часто цели управления (5.2), (5.6) и (5.7), оказывается, более удобно выразить в виде целевой функции

. (5.8)

Например, для того, чтобы привести цель управления (5.6) к виду (5.8) можно взять . Для цели (5.8) можно использовать целевую функцию вида , где  – положительно определенная симметричная матрица.