5.2. Задача идентификации

В ряде случаев, в том числе и в проблеме управления хаосом, необходимо решать задачу восстановления системы дифференциальных уравнений, исходя из заданного множества точек в фазовом пространстве, принадлежащих аттрактору системы. Для решения этой задачи используются как методы синхронизации, так и прямые методы. Методы синхронизации основаны на использовании однонаправленной связи двух хаотических систем. При сильной связи амплитуды колебаний связанных систем идентичны и изменяются одинаково хаотически. Прямые методы основаны на аппроксимации производных, вычисляемых приближенно по заданному множеству точек, некоторыми функциями, чаще всего полиномами.

5.2.1. Постановка задачи

Важнейший метод исследования динамических процессов состоит в построении математических моделей изучаемых систем и их анализе. Наличие математической модели исследуемой системы существенно расширяет возможности ее изучения, позволяя решать задачи предсказания поведения системы во времени и определения зависимости режимов ее функционирования от параметров.

Решение задачи моделирования теоретически не содержит проблем, если реальная система задана. Однако часто детальные сведения о реальной системе либо отсутствуют вовсе, либо явно недостаточны. Единственная информация о свойствах системы содержится лишь в экспериментальной зависимости одной из координат состояния системы во времени. Такая зависимость , измеренная в течение конечного времени , называется временным рядом (или реализацией) системы, а при дискретизации с шагом : , , , она также носит название временного ряда. Предположим, что временной ряд (наблюдения) является детерминированным, т. е. представляет собой одномерную проекцию фазовой траектории, порождаемой некоторой динамической системой. Задача реконструкции (идентификации) состоит в восстановлении модельной динамической системы, решение которой с определенной степенью точности воспроизводит одномерный временной ряд на заданном интервале времени и для . Проблема реконструкции динамической системы относится к классу обратных задач, решение которых неоднозначно.

В рамках данного пособия ограничимся рассмотрением проблемы восстановления (реконструкции) динамической системы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений или дискретных отображений по одномерному временному ряду. Предполагается, что временной ряд детерминирован, т. е. порожден некоторой реальной детерминированной динамической системой.

Решение проблемы восстановления динамической системы связано с решением следующих задач. Первая задача обусловлена необходимостью введения каким‑либо образом координат состояния системы, так как нам известна зависимость во времени (на конечном интервале) лишь одной из координат реальной системы. Как ввести координаты, и сколько их должно быть?

Предположим, что нам удалось, каким‑либо образом решить эту задачу, и нам известна размерность модельной динамической системы. Сразу возникает второй, но не менее важный вопрос: как записать уравнения? Каков вид оператора эволюции?

Н. Пакард показал, что фазовый портрет динамической системы может быть восстановлен по скалярному временному ряду, если в качестве недостающих координат вектора состояния используется тот же самый ряд, взятый с некоторым запаздыванием. Позже Ф. Такенсом была доказана теорема, утверждающая, что по одномерной реализации динамической системы, обладающей аттрактором , принадлежащим гладкому ‑мерному многообразию, методом задержки можно получить ‑мерную реконструкцию исходного аттрактора как множество векторов в при .

Таким образом, для получения динамического описания на основе одномерного временного ряда нужно решить следующие задачи: определить размерность пространства вложения, реконструировать аттрактор в новом модельном фазовом пространстве и записать явный вид модельной системы.