3.7.3. Вероятностные размерности

Вероятностные размерности используют понятие меры и энтропии (метрической энтропии динамической системы). Предполагается, что на исследуемом множестве определена мера, и все упоминаемые в этом пункте множества измеримы.

Информационная размерность. Разобьем множество на минимально возможное количество непересекающихся множеств таких, что . Вычислим энтропию этого разбиения

, ,

где  – плотность вероятности,  – вероятность нахождения изображающей точки в кубике . Величина энтропии характеризует неопределенность нахождения изображающей точки в кубике . При измельчении покрытия значение энтропии неограниченно возрастает. Однако может существовать предел

, (3.39)

который задает информационную размерность аттрактора. Если предел (3.39) не существует, вводится понятие нижней и верхней информационной размерности

, .

Энтропия достигает наибольшего значения при равенстве вероятностей . В этом случае величина достигает своего максимального значения

,

которое равно фрактальной размерности.

Если рассматривать случай абсолютно непрерывной меры на множестве в , для которой существует плотность вероятности , то можно записать, что при вероятность , где точка , а  – объем (мера Лебега) множества . Тогда

.

Первое слагаемое в последнем выражении при ограничено, а второе слагаемое неограниченно возрастает. Отношение стремится к числу , т. е. к размерности множества – носителя меры. Это справедливо и для фрактальных множеств. Таким образом, скорость увеличения энтропии при измельчении разбиения можно использовать для оценки размерности странных аттракторов.

Определение 3.18. Информационной размерностью множества будем называть предел

.

Не имеющими фрактальной структуры, могут быть некоторые хаотические (перемешивающие) отображения. Классическим примером является модифицированное отображение «кота Арнольда»

. (3.40)

Отображение (3.40) при условии взаимно однозначно переводит единичный квадрат плоскости в себя и является диссипативным в области , т. е. при каждой итерации элемент площади этой области сжимается. Несмотря на сжатие площади, отображение является эргодическим и перемешивающим. Поэтому хаотическим аттрактором отображения (3.40) является весь единичный квадрат, имеющий фрактальную размерность, равную двум.

Точки, являющие последовательными итерациями отображения (3.40), практически полностью покрывают квадрат, но плотность их распределения неоднородна. Количественной мерой этой неоднородности является величина информационной размерности , которую можно также определить следующим образом

, ,

где  – количество ‑мерных кубиков со стороной , покрывающих множество в ‑мерном фазовом пространстве динамической системы,  – вероятность посещения траекторией ‑го кубика,  – энтропия Шеннона.

Плотность распределения вероятностей точек в квадрате имеет неоднородный характер, поэтому информационные размерности аттракторов отображения (3.40) будут отличаться при разных значениях и будут лежать в интервале . Аттракторы автономных диссипативных систем (каскадов) более естественно различать по их информационной, а не фрактальной размерности.

Обобщенная размерность. Кроме обычной шенноновской энтропии можно использовать для этой цели и обобщенные энтропии Реньи порядка . Соответствующие размерности обычно называют обобщенными размерностями . В этом случае для покрытия рассчитывается величина

,

а обобщенная размерность равна

.

В случае получаем фрактальную размерность, при  – информационную размерность. При размерность носит название корреляционной размерности или корреляционного показателя.

Корреляционная размерность. Непосредственный расчет размерности Хаусдорфа или емкости аттрактора с ростом числа степеней свободы динамической системы сильно усложняется. Значительно проще оказывается вычисление корреляционной размерности, величина которой определяется через корреляционный интеграл

,

где  – функция Хевисайда;  – векторы, описывающие положение изображающей точки в фазовом пространстве в моменты времени и ,  – некоторый заданный промежуток времени,  – число выборок. Величина определяет относительное число пар точек, расстояние между которыми не больше . При малых корреляционный интеграл . Отсюда следует, что корреляционная размерность

.

Для определения корреляционной размерности достаточно знать лишь одну реализацию процесса . Поэтому она легко поддается численному расчету и очень удобна для обработки результатов экспериментальных исследований.

Пример. Пусть на канторовом множестве задана однородная мера, которая строится следующим образом: на ‑м шаге построения каждому из отрезков длины припишем значение меры , т. е. , . Тогда

, , .

Для обобщенной размерности при имеем . Откуда находим, что для соответствующие размерности . Таким образом, для однородной меры на канторовом множестве все размерности совпадают.

Спектр обобщенных размерностей характеризует неоднородность сингулярной меры. Для того, чтобы охарактеризовать сингулярность меры в окрестности некоторой фиксированной точки , вводят поточечную размерность.

Поточечная размерность. Пусть  – шар радиуса с центром в точке .

Определение 3.19. Поточечной размерностью называется предел (если он существует)

.

Если поточечная размерность существует, то в окрестности точки мера шара радиуса ведет себя как . Для меры Лебега в поточечная размерность каждой точки равна . На однородном канторовом множестве поточечная размерность каждой точки одинакова и совпадает со всеми прочими размерностями. А вот для неоднородной меры на канторовом множестве поточечные размерности большинства точек оказываются разными. Наиболее «разряженной» оказывается мера в окрестности самой левой точки (при ), наиболее «густой» – в окрестности самой правой точки. Прочие значения могут быть равны поточечным размерностям для точек с ее промежуточными значениями. Таким образом, спектр обобщенных размерностей показывает, в каких пределах могут находиться значения поточечной размерности.

Если интересуют не детали фрактальной структуры аттрактора динамической системы, а лишь оценка числа существенных переменных динамической структуры, достаточно ограничиться расчетом какой‑либо одной размерности. Чаще всего используют корреляционную размерность . Вообще говоря, на практике для странных аттракторов детали фрактальной структуры оказываются несущественны: для систем размерности больше их не удается исследовать ни численно, ни аналитически, а на малых масштабах их истребляет шум.