4.4. Численное исследование мер

Инвариантная мера может представлять интерес либо как самостоятельная характеристика динамической системы, либо как средство вычислить какие-то средние значения, которые не удается получить как временные средние.

Если необходимо построить распределение вероятностей, то носитель меры (какую-то область фазового пространства) разбивают на достаточно малые подмножества и, решая дифференциальные уравнения, рассчитывают достаточно длинную траекторию, содержащую точек . Меру каждого множества оценивают как

,

где  – число точек, попавших в подмножество , т. е. фактически при помощи гистограммы.

Этот метод хорошо работает, когда достаточно велико. Если интерес представляют области, где траектории появляются очень редко, то для них такие оценки будут давать неприемлемо большую ошибку. Так как относительная погрешность равна

.

В этом случае необходимо либо аппроксимировать меру гладким распределением, либо решать уравнение Перрона‑Фробениуса.

Задачи другого типа связаны с приложениями теории информации к динамическим системам. Для них необходимо строить разбиения фазового пространства, оценивать меру каждого из них, а затем рассчитывать энтропию, взаимную информацию и тому подобные характеристики. При таком подходе трудностей можно избежать, если разбивать носитель меры на части, примерно равные не по мере Лебега (объему), а по инвариантной мере, т. е. такие части, для которых все будут примерно одинаковы и ни одно из них не будет слишком мало. Тогда оценки требуемых величин будут наиболее надежными.

4.5. Расчет размерности аттрактора

Расчет фрактальной размерности аттрактора по временному ряду представляет значительный интерес, так как позволяет оценить (обычно снизу) минимальное число существенных динамических переменных (или число параметров порядка, динамическую размерность, размерность минимального инерциального многообразия), необходимых для описания наблюдаемых процессов.

4.5.1. Определение емкости

Численные методы определения емкости первоначально основывались на сформулированном определении, за исключением того, что опускали этап минимизации количества покрывающих множеств. Алгоритм имеет следующий вид. Пусть по временному ряду построена ‑мерная реконструкция, и в распоряжении находится набор векторов . Хотя это могут быть и точки исходного фазового пространства .

1. Задаем некоторое и разбиваем область фазового пространства, в которой лежат анализируемые вектора, на кубики со стороной . Подсчитываем, сколько кубиков покрывают все точки траектории. Получаем одно значение . Для расчета числа кубиков можно воспользоваться следующей идеей. Поделим все координаты векторов на величину и оставим только целую часть, преобразовав тем самым их в новые векторы . Тогда для всех векторов , попавших в одну ячейку, полученные векторы будут совпадать. Т.е. будет равно количеству различных векторов .

2. Допустим, что мы вычислили число накрывающих кубиков для различной длины стороны . Как следует из определения емкости (3.31), при малых число кубиков должно вести себя как , а в таком случае . Поэтому оценивание емкости по полученным данным сводится к:

‑ поиску «наиболее линейного» участка зависимости от ;

‑ построению на этом участке линейной аппроксимации вида , например, по методу наименьших квадратов. В качестве оценки емкости берется .

Наиболее трудно в этом алгоритме формализовать выбор линейного участка, по которому следует оценивать емкость.

Алгоритмы приведенного типа получили название подсчета ячеек. С одной стороны они достаточно просты, с другой имеют существенные недостатки.

Первый недостаток связан с необходимостью исследования очень длинных выборок – миллионы точек и более. Для коротких выборок не удается получить хорошего линейного участка.

Во‑вторых, величину не всегда удается хорошо оценить, так как в ряде случаев заметный вклад вносят редко посещаемые области аттрактора. В некоторые из них точки не попадут, и оценка для числа кубиков будет заниженной. Более того, для некоторых типов динамических систем (система Лоренца) при малых отсутствует сходимость даже при числе векторов .

Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод о «непрактичности» алгоритмов подсчета ячеек. Поэтому внимание исследователей было обращено на вычисление вероятностных размерностей.