3.7.1. Фракталы
Объекты, которые сейчас называются фракталами, впервые появились в математике при развитии понятия “линия”, “плоская фигура”. К фракталам относятся такие фигуры, которые нельзя назвать в полном смысле слова ни линией, ни плоской фигурой. Примером такого объекта может служить кривая Коха, которая образуется из отрезка прямой последовательной заменой каждого прямолинейного участка на ломаную линию. В пределе получается “линия”, соединяющая две точки, но имеющая бесконечную длину.
В основе первого определения фрактала, данного Б. Мандельбротом, лежит представление о топологической размерности. Формулируется оно так: «Фракталом называется такое множество, размерность Хаусдорфа–Безиковича которого строго больше его топологической размерности». «Дробная размерность» и выражает пограничное свойство фракталов лежать между точкой и линией, между линией и поверхностью.
Более позднее и менее формальное определение фрактала звучит следующим образом. “Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому”. Причем понятие самоподобия трактуется весьма широко, что позволяет охватить достаточно мощное множество объектов, достойных называться фракталами. Формально подобие или самоподобие характеризуется тем, что некоторые свойства инвариантны относительно тех или иных преобразований. В простейшем случае речь идет о геометрических преобразованиях: плоскость переходит в себя при параллельном сдвиге и повороте.
Простейшие фракталы, такие как канторовская пыль, ломаная и снежинка Коха, ковер и губка Серпинского, обладают регулярной, геометрически правильной, структурой. Каждый фрагмент такого геометрически правильного фрактала в точности повторяет всю конструкцию в целом. При менее точном следовании самоафинности или самоподобию возникают другие, не столь регулярные, например, случайные и динамические фракталы. Самоафинность случайных фракталов проявляется в сохранении законов случайного распределения в различных масштабах, возможно, с различными дисперсиями и средними.
До сих пор речь шла о фрактальности пространственных форм. Однако самоподобие можно увидеть и в динамике процессов, протекающих во времени. Фрактальность поведения сложных нелинейных систем рассматривается как их неотъемлемое свойство. Если система сложна, то в своем развитии она проходит через чередующиеся этапы устойчивого и хаотического развития. Сценарии перехода от порядка к хаосу и обратно поддаются классификации, и все многообразие природных процессов распадается на некоторое число качественно подобных. Так нерегулярные движения динамической системы на аттракторе, при рассмотрении на различных временных масштабах, будут проявлять самоподобие – экспоненциальное разбегание бесконечно близких траекторий, т. е. имеет место свойство локальной неустойчивости.
Подобно другим геометрическим понятиям (точка, линия, поверхность) фрактал – прежде всего абстракция, теоретическая модель реальности, результат предельного перехода. Фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.
Дробная размерность. Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта: фрактальная размерность, или размерность Минковского; топологическая размерность и размерность Хаусдорфа. Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, а поверхности двумерны. Размерность Хаусдорфа лежит в основе фрактальной теории. Фрактал определяется как множество, размерность которого строго больше топологической размерности. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее.
Размерность
Минковского.
Рассмотрим известные выражения для
длины, площади и объема “шара” в
евклидовом пространстве. Длина “шара”
радиуса
в
составляет
.
Площадь “шара” радиуса
в
составляет
.
Объем “шара” радиуса
в
составляет
.
Формула в пространстве любого целого
числа измерений имеет вид:
.
(3.30)
Первый шаг в
построении теории дробной размерности
состоит в определении
шара
радиуса
в
.
Это достигается распространением
формулы (3.30) на все вещественные
.
Например, объем (мера) шара в
-мерном
пространстве определяется как
.
Конкретное значение коэффициента
в дальнейших рассуждениях роли не играет
и его можно считать константой.
Следующий шаг
состоит в переносе понятия
‑меры
с шара на произвольное множество
.
Для этого аппроксимируем множество
объединением шаров и просуммируем их
объемы. Пусть
– минимальное
число шаров радиуса
,
необходимых для покрытия компактного
множества
.
Тогда
‑мера
множества
,
обозначаемая
,
удовлетворяет (приближенно) соотношению:
.
Полагая, что мера
положительна
,
для константы
имеем
.
Логарифмируя левую и правую части последнего соотношения, получаем
.
Откуда
.
Так как значение
при радиусе
,
то размерность Минковского
множества
должна удовлетворять
.
Если предел существует, то последнее выражение определяет размерность Минковского множества .
Самоподобные
множества.
Рассмотрим
ограниченное множество, например,
отрезок прямой единичной длины. Если
уменьшить его длину в
раз, то, параллельно перенося этот
отрезок вдоль исходного отрезка, можно
накрыть им исходный отрезок. Например,
если
,
где
– целое
число, то
отрезками соответствующей длины можно
накрыть исходный отрезок.
Прямоугольник
можно накрыть
его уменьшенными копиями, если коэффициент
подобия
,
прямоугольный параллелепипед – если
,
и т. д. В общем случае если
уменьшенных копий исходного объекта с
коэффициентом подобия
полностью накрывают его, то число
называют размерностью подобия, а сам
объект является фракталом.
Компактное множество
самоподобно, если существуют такие
преобразования подобия
,
что имеет место представление:
,
(3.31)
причем множества
имеют не очень много общих точек (попарно
не пересекаются). Если все коэффициенты
подобия
преобразований
лежат в интервале
,
и выполнено соотношение (3.31), то решение
уравнения
называется размерностью подобия множества .
Определение 3.14. Компактное множество называется самоподобным, если оно представимо в виде (3.31), и ‑мера Хаусдорфа всех парных пересечений множеств равна нулю, где – размерность подобия множества .
Условие равенства нулю ‑меры Хаусдорфа всех парных пересечений множеств всегда выполняется, когда множества имеют лишь конечное или счетное число общих точек.
Пример. Рассмотрим регулярный фрактал, получивший название “ломаная Коха” и обладающий самоподобием: каждый фрагмент при надлежащем увеличении воспроизводит структуру всего фрактала. Процесс построения “ломаной Коха” можно представить в следующем виде. Единичный отрезок делится на три равные части, средняя часть удаляется, а на ее месте как на основании строится равносторонний треугольник (точнее две его боковые стороны). Далее вся процедура повторяется снова и снова.
На первой итерации
с масштабным множителем (коэффициентом
подобия)
мы получим фрагмент, состоящий из одной
трети исходного отрезка, и таких
фрагментов нужно четыре, чтобы покрыть
весь исходный отрезок. Аналогично, на
‑й
итерации при масштабном множителе
нужно
фрагментов. Следовательно, размерность
подобия кривой Коха равна
и совпадает с фрактальной размерностью
Хаусдорфа (см. ниже раздел 3.7.2).