5.2.2. Реконструкция аттрактора. Теорема Такенса

Пусть задана динамическая система с фазовым пространством . Будем считать, что числа, образующие временной ряд, являются значениями некоторой «наблюдаемой» – скалярной функции состояния динамической системы :

.

В качестве многообразия может использоваться само фазовое пространство или какое‑либо инвариантное многообразие из пространства . Во многих случаях, когда переходные процессы закончились, и можно считать, что траектория находится на аттракторе, удобно в качестве рассматривать минимальное инерциальное многообразие.

Пусть временной шаг между элементами временного ряда равен , а вектора для краткости будем обозначать . Тогда

, , … , .

Поэтому

,

,

, (5.17)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Соотношения (5.17) позволяют связать все компоненты ‑мерного вектора с одним и тем же состоянием динамической системы . Обозначим векторную функцию, отображающую вектора в точки ‑мерного евклидова пространства , через

, , .

Теорема Такенса утверждает, что типичным свойством отображения будет то, что при оно будет давать вложение в . Образ в будем обозначать , и в типичном случае у него не должно быть самопересечений. Вложение в данном случае означает, что:

1) функция будет дифференцируемой функцией и будет иметь обратную дифференцируемую функцию , определенную на ;

2) каждой траектории динамической системы будет соответствовать ее образ в пространстве. Причем для образов будут иметь место те же свойства, что и для исходных траекторий, в частности, через каждую точку будет проходить одна и только одна ‑траектория;

3) На можно определить динамическую систему; так как , то

, , (5.18)

где функция отображает в , а вне поверхности отображение не определено; если оставить только одну последнюю компоненту соотношения (5.18), получим другой вариант динамической системы в виде отображения с запаздыванием или нелинейной авторегрессии

,

которая может быть использована для прогнозирования временного ряда;

4) таким образом, имеем два отображения

, ,

и

, , .

Их можно рассматривать как отображения, связанные невырожденной и обратной заменой переменных , или как различные представления одного и того же отображения. Следовательно, характеристики, инвариантные относительно невырожденной замены переменных, у обеих систем должны совпадать. К ним относятся фрактальные размерности аттрактора, набор обобщенных энтропий и все характеристических показателей Ляпунова. Поэтому указанные свойства можно определить по экспериментальным данным, не зная всех переменных динамической системы. Можно попытаться восстановить (аппроксимировать) и саму функцию .

Слова о «типичном свойстве» отображения следует понимать в том смысле, что ранг отображения равен . Допустим, что требуется найти точку самопересечения поверхности , т. е. две различные точки такие что . Это соотношение можно рассматривать как систему нелинейных алгебраических уравнений для определения неизвестных – компонент векторов . При число уравнений будет больше числа неизвестных, поэтому в типичном случае точек самопересечения быть не должно.

Теорема Такенса подводит строгую математическую основу под идеи нелинейной авторегрессии и прогнозирования методами нелинейной динамики.