Лекция 14 методи розв’язку оптимізаційних задач. Основне завдання опуклого програмування: термінологія й формулювання.

1. Опуклі множини й опуклі функції

Домовимося про деякі терміни й позначення в цій темі.

Нехай є впорядкований набір чисел: Будемо говорити, як і раніше, що це - точка в мірному просторі, а сукупність всіх цих точок позначати терміном мірний простір і позначати символом . Для двох точок і рівність означає, що . Точки мірного простору можна складати між собою й множити на числа за наступними правилами: якщо й , тобто точка така, що ; якщо  - деяке число, те  є крапка така, що .

Множина називається опуклим, якщо для будь-яких двох крапок і будь-яких двох чисел ,  таких, що  0,  0 і +=1 обов'язково . Коли або , сукупність точок має простий геометричний зміст: це відрізок прямій між точками . Тому говорять, що множина опукло, якщо разом з будь-якими двома точками воно містить відрізок, їх з'єднуючий.

Функція на деякій опуклій множини називається опуклої, якщо для будь-яких і будь-яких двох чисел , таких, що  0,  0 і +=1. Цим же терміном - опукла функція на множини - позначається функція така, що для будь-яких .

Помітимо, що лінійна функція завжди опукла.

І останнє позначення. Якщо і є набір чисел , то символ називається похідній по напрямку функції і являє собою функцію змінних , котра задається вираженням:

.

2. Формулювання основного завдання опуклого програмування

Основне завдання опуклого програмування - це завдання пошуку мінімуму опуклої функції на множини, заданій за допомогою опуклих функцій. Точніше: потрібно знайти мінімум функції

при обмеженнях:

,

причому всі зазначені тут функції - - опуклі.

З огляду на, що лінійні функції завжди опуклі, ми можемо сказати, що основне завдання лінійного програмування є часткою случаємо основного завдання опуклого програмування.

Прийняте відразу обмовляти наступна умова, при обов'язковому виконанні якого проводяться подальші дослідження:

повинна існувати точка така, у якій одночасно виконуються всі строгі нерівності:

.

Така точка називається внутрішньої.

Рішення поставленого завдання являє собою побудова послідовності точок , що сходиться до шуканої екстремальної точки.

3. Канонічна форма основного завдання опуклого програмування

Нехай є яке-небудь основне завдання опуклого програмування: потрібно

знайти мінімум функції

при обмеженнях:

,

причому всі зазначені тут функції - - опуклі. Уведемо нову змінну й сформулюємо наступне завдання:

знайти мінімум функції

при обмеженнях:

Помітимо, що це - теж завдання опуклого програмування. Припустимо, що її вдалося вирішити й виявилося, що відповідна екстремальна точка є ; можна довести, що в цьому випадку екстремальною крапкою у вихідному завданні опуклого програмування виявляється точка . Тому прийнято розглядати завдання опуклого програмування в наступній канонічній формі: знайти мінімум лінійної функції

при обмеженнях:

причому всі функції в обмеженнях - опуклі.

Надалі ми припускаємо в цій темі, що всі обговорювані функції - гладкі (тобто мають безперервні похідні всіх порядків). Крім того, нагадуємо, що мовчазно передбачається, що існує внутрішня точка, що задовольняє всім обмеженням.