- •Конспект лекцій Частина іі з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- •Симплекс-Метод для відшукання опорного рішення
- •Приклад відшукання опорного рішення.
- •Симплекс-Метод для відшукання оптимального рішення.
- •Приклад відшукання оптимального рішення
- •Задача апроксимації функції.
- •Інтерполяційний багаточлен Лагранжа й різні форми його запису.
- •Задача рівномірного наближення функції.
- •11.4. Метод найменших квадратів.
- •Багаточлени Бернштейна.
- •Постановка транспортного завдання лінійного програмування.
- •12.2. Термінологія транспортного завдання лінійного програмування
- •Опис методу потенціалів рішення транспортного завдання лінійного програмування
- •Лекция 13
- •Аналіз періодичності послідовностей. Приклад рішення транспортної задачі методом потенціалів
- •Лекция 14 методи розв’язку оптимізаційних задач. Основне завдання опуклого програмування: термінологія й формулювання.
- •Опуклі множини й опуклі функції
- •Формулювання основного завдання опуклого програмування
- •Канонічна форма основного завдання опуклого програмування
- •Пошук вихідного наближення.
- •Лекція 15 моделювання лінійних систем. Метод найшвидшого спуска вирішення основної задачі опуклого програмування
- •Лекция 16 моделювання стохастичних систем приклад реалізації методу найшвидшого спуска рішення основного завдання опуклого програмування.
- •Квадратичні форми і їхні різновиди.
- •Формулювання основного завдання квадратичного програмування.
- •17.3. Рішення основного завдання квадратичного програмування.
- •Приклад рішення основного завдання квадратичного програмування.
- •Лекція 18 програмні засоби моделювання на еом
- •18.1. Програмне забезпечення задач про наближення функцій.
- •18.2. Основні методи пошуку найкращого рівняння
- •Список рекомендованої літератури
Лекция 13
Аналіз періодичності послідовностей. Приклад рішення транспортної задачі методом потенціалів
Розглянемо тепер на конкретному числовому прикладі рішення транспортного завдання лінійного програмування методом потенціалів.
От умова завдання, записана за допомогою таблиці, про яку мова йшла вище:
-
3
5
7
11
100
1
4
6
3
130
5
8
12
7
170
150
120
80
50
Тут немає необхідності вводити фіктивних споживачів і фіктивних постачальників, тому що сума запасів дорівнює сумі запитів - 400. Методом північно-західного кута побудуємо первісний план:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
4
6
3
130
5
8
12
7
170
50
120
80
50
Далі:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
50
4
6
3
80
5
0
8
12
7
170
0
120
80
50
Далі:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
50
4
80
6
0
3
0
0
5
0
8
12
7
170
0
40
80
50
Далі:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
50
4
80
6
0
3
0
0
5
0
8
40
12
7
130
0
0
80
50
Далі:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
50
4
80
6
0
3
0
0
5
0
8
40
12
80
7
50
0
0
0
50
І, нарешті:
-
3
100
5
0
7
0
11
0
0
1
50
4
80
6
0
3
0
0
5
0
8
40
12
80
7
50
0
0
0
0
0
У цьому випадку . Множина X у цьому випадку теж складається із шести кліток. Запишемо рівняння для потенціалів:
Покладемо й знайдемо інші потенціали. Результат зручно оформити таблицею, що виходить із останньої видаленням останнього рядка й останнього стовпця, але введенням нового верхнього рядка - з потенціалів - і нового лівого стовпця - з потенціалів . Одержуємо:
-
3
6
10
5
0
3
100
5
0
7
0
11
0
2
1
50
4
80
6
0
3
0
-2
5
0
8
40
12
80
7
50
Перевіримо тепер на потенційність знайдені числа:
.
Отже, знайдені числа не є потенціалами. Знаходимо . Тут - це . Приступимося до процедури із циклом. По-перше, виділимо його явно. На нижченаведеній таблиці клітки циклу виділені сірим фоном:
-
3
6
10
5
0
3
100
5
0
7
0
11
0
2
1
50
4
80
6
0
3
0
-2
5
0
8
40
12
80
7
50
Відповідно до описаного вище алгоритмом, цей цикл треба обійти проти годинникової стрілки, починаючи із клітки (1,3), і проставити в кожній із прохідних кліток «+» або «-», чергуючи ці знаки й починаючи з «+». Маємо:
-
3
6
10
5
0
- 3
100
(5
0
+ 7
0
11
0
2
+ 1
50
- 4
80
6
0
3
0
-2
5
0
+ 8
40
- 12
80
7
50
Тепер, відповідно до алгоритму, серед кліток зі знаком «-» знайдемо ту, де мінімальне значення плану ; відповідне = 80. Віднімаємо 80 із кліток зі знаком «-» і додаємо 80 у клітках зі знаком «+»:
-
3
6
10
5
0
- 3
20
5
0
+ 7
80
11
0
2
+ 1
130
- 4
0
6
0
3
0
-2
5
0
+ 8
120
- 12
0
7
50
Перепишемо ще раз новий план:
-
3
20
5
0
7
80
11
0
1
130
4
0
6
0
3
0
5
0
8
120
12
0
7
50
Тепер безліч ненульових кліток плану складається з п'яти кліток. Доповнюємо його до шестиклітинної множини кліткою (2,2) і по цій безлічі знову запишемо систему рівнянь для гіпотетичних потенціалів:
.
Знову покладемо й знайдемо інші невідомі. Результат зберемо в наступну таблицю:
-
3
6
7
5
0
3
20
5
0
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-2
5
0
8
120
12
0
7
50
Досліджуємо знайдені числа на потенційність. Одержимо наступні нерівності:
У цьому випадку . Виділяємо відповідний цикл:
-
3
6
7
5
0
3
20
5
0
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-2
5
0
8
120
12
0
7
50
Обійдемо цей цикл проти годинникової стрілки, починаючи із клітки (1,2) і розставляючи символи «+» і «-»:
-
3
6
7
5
0
- 3
20
+ 5
0
7
80
11
0
2
+ 1
130
- 4
0
6
0
3
0
-2
5
0
8
120
12
0
7
50
У цьому випадку Віднімаємо й додаємо 0 уздовж виділеного циклу (звичайно, план від цього зовсім не зміниться, але формально виконаємо покладена дія), видалимо з множини Х клітку (2,2) і включимо в нього клітку (1,2). У таблиці виділені клітки нової множини Х, по яких будемо шукати потенціали:
-
3
20
5
0
7
80
11
0
1
130
4
0
6
0
3
0
5
0
8
120
12
0
7
50
Знову запишемо рівняння для гіпотетичних потенціалів:
Покладемо й знову результат опишемо таблицею:
-
3
5
7
4
0
3
20
5
0
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-3
5
0
8
120
12
0
7
50
Досліджуємо знайдені числа на потенційність:
Таким чином, є єдина клітка з порушенням - клітка (3,1). Звідси виникає черговий цикл:
-
3
5
7
4
0
3
20
5
0
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-3
5
0
8
120
12
0
7
50
Обходимо його проти годинникової стрілки, починаючи із клітки (3,1) і розставляючи символи «+» і «-»:
-
3
5
7
4
0
- 3
20
+ 5
0
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-3
+ 5
0
- 8
120
12
0
7
50
Мінімум на клітках зі знаком «-» дорівнює 20 - у клітці (1,1). Змінюємо план:
-
3
5
7
4
0
- 3
0
+ 5
20
7
80
11
0
2
1
130
4
0
6
0
3
0
-3
+ 5
20
- 8
100
12
0
7
50
Знову запишемо рівняння для гіпотетичних потенціалів:
От відповідь:
-
2
5
7
4
0
- 3
0
+ 5
20
7
80
11
0
1
1
130
4
0
6
0
3
0
-3
+ 5
20
- 8
100
12
0
7
50
Перевірка показує, що тепер числа - потенціали. Отже, план перевезень - оптимальний. От ціна відповідних перевезень:
.
Запишемо ще раз знайдений план, але у вихідній таблиці:
-
3
0
5
20
7
80
11
0
100
1
130
4
0
6
0
3
0
130
5
20
8
100
12
0
7
50
170
150
120
80
50