- •Конспект лекцій Частина іі з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- •Симплекс-Метод для відшукання опорного рішення
- •Приклад відшукання опорного рішення.
- •Симплекс-Метод для відшукання оптимального рішення.
- •Приклад відшукання оптимального рішення
- •Задача апроксимації функції.
- •Інтерполяційний багаточлен Лагранжа й різні форми його запису.
- •Задача рівномірного наближення функції.
- •11.4. Метод найменших квадратів.
- •Багаточлени Бернштейна.
- •Постановка транспортного завдання лінійного програмування.
- •12.2. Термінологія транспортного завдання лінійного програмування
- •Опис методу потенціалів рішення транспортного завдання лінійного програмування
- •Лекция 13
- •Аналіз періодичності послідовностей. Приклад рішення транспортної задачі методом потенціалів
- •Лекция 14 методи розв’язку оптимізаційних задач. Основне завдання опуклого програмування: термінологія й формулювання.
- •Опуклі множини й опуклі функції
- •Формулювання основного завдання опуклого програмування
- •Канонічна форма основного завдання опуклого програмування
- •Пошук вихідного наближення.
- •Лекція 15 моделювання лінійних систем. Метод найшвидшого спуска вирішення основної задачі опуклого програмування
- •Лекция 16 моделювання стохастичних систем приклад реалізації методу найшвидшого спуска рішення основного завдання опуклого програмування.
- •Квадратичні форми і їхні різновиди.
- •Формулювання основного завдання квадратичного програмування.
- •17.3. Рішення основного завдання квадратичного програмування.
- •Приклад рішення основного завдання квадратичного програмування.
- •Лекція 18 програмні засоби моделювання на еом
- •18.1. Програмне забезпечення задач про наближення функцій.
- •18.2. Основні методи пошуку найкращого рівняння
- •Список рекомендованої літератури
11.4. Метод найменших квадратів.
Припустимо, що клас G являє собою множину всіх багаточленів ступеня не переважаючого деякого конкретного числа m. Тоді задача рівномірного наближення функцій здобуває наступний вид:
серед багаточленів знайти такий, при якому величина
приймає мінімальне значення.
Для цього треба знайти такі , при яких функція приймає мінімальне можливе значення, а це відбувається тоді, коли дорівнюють нулю всі її частки похідні:
це - система з m+1лінійних алгебраїчних рівнянь із m+1 невідомими ; можна довести, що ця система завжди сумісна й визначена. Її рішенням і є шуканий багаточлен.
Розпишемо цю систему в традиційній формі, розкривши скобки й привівши подібні члени:
;
включивши процедуру рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь тепер легко одержати відповідь.
Багаточлени Бернштейна.
Припустимо, що функція задана у відрізку [0,1] у точках , при деякому фіксованому n. У цьому випадку можна побудувати багаточлен Бернштейна
Можна довести, що при багаточлени прагнуть до функції рівномірно по x; крім того, для будь-якого конкретного цілого має місце граничне співвідношення для похідних:
Нарешті, відомо, що якщо число задовольняє нерівності на всьому відрізку [0,1], те для кожного із цього відрізка виконується нерівність:
.
Це, звичайно, дозволяє оцінювати помилку, що виникає при відповідній інтерполяційній заміні.
Сказане вище для випадку функції один змінної можна узагальнити на випадок двох і більше змінних. Ми обмежимося узагальненням тільки на випадок двох змінних.
Отже, нехай є функція на квадраті
,
причому реально вона задана у вузлах решітки
,
при заздалегідь фіксованих натуральних числах і . Побудуємо по цій інформації наступний багаточлен від двох змінних:
,
де - біноміальні коефіцієнти. Це - багаточлен Бернштейна для заданої функції на заданих решітці. З його допомогою так само можна здійснювати інтерполяцію, приймаючи його значення в тій або іншій точці квадрата за значення самої функції. Можна довести, що для будь-якої точки квадрата має місце нерівність:
,
яке й дозволяє оцінити погрішність інтерполяції. Тут константи й задовольняють у розглянутому квадраті нерівностям
.
Зауваження. Випадок один змінної розглядався вище на відрізку [0,1], а випадок двох змінних - в одиничному квадраті. У дійсності, розгляди можливі на будь-якому відрізку [a,b] і на будь-якому прямокутнику [a,b;c,d]. Для цього у вихідній ситуації (тобто на довільному відрізку або на довільному прямокутнику) потрібно зробити лінійну заміну змінних. Докладніше: нехай функція задана в точках відрізка , де при деякому фіксованому
Покладемо
тоді
якщо тепер у покласти , то виникне ситуація функції , заданої вже на відрізку [0,1]. Аналогічно, у випадку двох змінних треба зробити заміну
,
після чого виникне ситуація одиничного квадрата.
Лекция 12
МЕТОДИ КОЛОКАЦІЇ ТА НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ.
ТРАНСПОРТНЕ ЗАВДАННЯ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ. ОБЧИСЛЮВАЛЬНА СХЕМА РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ
ПО МЕТОДУ ПОТЕНЦІАЛІВ