2. Формулювання основного завдання квадратичного програмування.

Потрібно знайти мінімум функції

у якій квадратична форма позитивно визначена, при обмеженнях:

причому споконвічно передбачається, що обмеження задають область., що містить внутрішні точки, тобто точки, що обертають всі умови в строгі нерівності.

17.3. Рішення основного завдання квадратичного програмування.

Вирішальною обставиною тут є той факт, що основне завдання квадратичного програмування являє собою окремий випадок основного завдання опуклого програмування. Дійсно, всі обмеження – лінійні, а тому - опуклі. Цільова функція - через вимоги, пропонованих до квадратичної форми, також є опуклою. Нарешті, наявність крапки, що задовольняє всім обмеженням, - це теж стандарт основного завдання опуклого програмування.

При практичному підході до рішення основного завдання квадратичного програмування варто спочатку знайти вихідне, нульове, наближення за допомогою процедури симплекс-методу для відшукання опорного рішення.

3. Приклад рішення основного завдання квадратичного програмування.

Сформулюємо контрольний приклад для перевірки процедури рішення цього завдання. Отже, потрібно

при обмеженнях:

Вихідне наближення - це точка . Як вихідне значення візьмемо =0.5. Проводячи процедуру методу найшвидшого спуска, доходимо висновку, що рішенням є точка (1,0,1).

Лекція 18 програмні засоби моделювання на еом

18.1. Програмне забезпечення задач про наближення функцій.

Ми приведемо тут опис програмного пакета, присвяченого наближенню функцій. Цей опис буде дано з позицій користувача, що веде діалог з комп'ютером.

Після завантаження системи користувач одержує питання:

Скільки аргументів у функції (один або два)?

Одержавши відповідь, система запрошує користувача ввести таблицю значень функції. При цьому повинні бути передбачені можливості уведення в діалозі із клавіатури або уведення з файлу на диску.

Помітимо, що вище ми обговорювали лише одну ситуацію для випадку функції двох змінних - ситуацію багаточлена Бернштейна. Тому у випадку двох змінних система повинна перевірити, чи відповідає таблиця вимогам Бернштейна; якщо ні, те повинне бути видане відповідне повідомлення. Якщо так, то система повинна побудувати багаточлен Бернштейна. Доцільно ввести в цьому фрагменту блок, що дозволяє користувачеві редагувати таблицю й тільки після редагування звертатися до побудови багаточлена.

У випадку однієї змінної вище ми розглянули кілька способів наближення функції, причому в деяких з них є додаткові вимоги до таблиці значень; щораз перевірка таблиці на коректність повинна здійснюватися.

Дискретне перетворення Фур'є (як у швидкому варіанті, так і у звичайному) має сенс розглядати як окремий варіант «наближення» функції.

18.2. Основні методи пошуку найкращого рівняння

Ми розглядаємо тут лише ті з методів пошуку найкращого регресійного рівняння, які визнані найкращими в умовах застосування ЕОМ у випадку множинного регресійного. Якщо факторів трохи, може бути отримано кілька різних рівнянь. Задача дослідника - відшукати найкраще рівняння. Процедури пошуку найкращої моделі досить різноманітні, пов'язані з більшою кількістю обчислень і сильно залежать від числа факторів, вплив яких на відгук хочуть досліджувати. Будь-який метод виглядає як проведення серії порівнянь для вибору корисних факторів.

Існує кілька способів і алгоритмів вибору найкращого рівняння регресії:

1. Метод всіх можливих регресій.

2. Метод вибору «найкращої підмножини» предикторів.

3. Метод виключення.

4. Кроковий регресійний метод.

5. Гребнева регресія.

6. ПРЕС.

7. Регресія на головних компонентах.

8. Регресія на власних значеннях.

9. Східчастий регресійний метод.

10. Робастна (стійка) регресія

11. Інші, більше ранні методи (метод ділення навпіл, метод складного ножа).

Звичайно, жоден з методів не може компенсувати здоровий глузд і життєвий досвід. Однак метод виключення й кроковий метод визнаються найбільш ефективними при використанні ЕОМ. Пояснимо їх.

Метод виключення досліджує не всі, а тільки найкращі регресійні рівняння, у чому й складається його економічність. На першому етапі розраховується рівняння, що включає всі незалежні змінні. Потім, розглядаючи кореляційну матрицю, знаходять у ній незалежну змінну, що має саму слабку (по модулеві) зв'язок із залежної, (тобто з найменшим по модулі значенням коефіцієнта кореляції), і виключають її з рівняння. Заново перераховують рівняння з меншим числом незалежних змінних. Якщо в порівнянні з попереднім розрахунком значимість рівняння в цілому (Fp) і коефіцієнт детермінації (R2) підвищилися, то виключення зроблене правильно. Далі відшукують у кореляційній матриці наступну незалежну змінну з найменшим значенням коефіцієнта кореляції й надходять аналогічним способом. Виключення незалежних змінних (по однієї) і перерахування рівнянь продовжують доти, поки не виявлять зниження значимості рівняння й частки поясненої варіації (R2) у порівнянні з останнім попереднім розрахунком. Це служить сигналом недоцільності останнього виключення.

Кроковий метод - це спроба прийти до тих же результатам, діючи в протилежному напрямку, починаючи з однофакторної моделі. При цьому, як і в попередньому методі, обов'язково орієнтуються на дані кореляційної матриці. Т. е. при кроковому методі на першому кроці розрахунку в рівняння включають не всі, а тільки один фактор з найбільшим по модулі значенням коефіцієнта кореляції між незалежною й залежної змінною. На кожному наступному кроці з не включеними в рівняння незалежних змінних, що залишилися у попередню модель додають тільки одну незалежну змінну, найбільш зв'язану із залежної, і заново перераховують всі параметри регресії. Після перерахування порівнюють отримані оцінки нового рівняння з оцінками попереднього кроку. Так продовжують доти, поки не одержать найкраще рівняння з найбільшими розрахунковими значеннями F і R2.

Додавання або виключення факторів по одному в кожному з названих методів дозволяють помітити й виділити роль кожного окремого фактору в регресійній моделі. Якщо цей принцип не дотримується, тобто фактори виключаються (при методі виключення) або додаються (при кроковому методі) по двох або більше, те найкращу модель відшукати все-таки можна, але тоді важко зрозуміти, який же саме фактор найбільше істотно змінює (поліпшує або погіршує) статистичну значимість рівняння. А це винятково важливо в маркетингових і фінансових моделях, які відшукують саме для того, щоб управляти залежним показником, через вплив самого істотного або самих істотних факторів, тобто цілеспрямовано змінюючи значення фактору для одержання бажаного відгуку.

Зверніть увагу на те, що в описані вище правилах виконання регресійних обчислень дослідник повинен діяти, попередньо обравши конкретний метод. Незважаючи на комп'ютерну підтримку обчислень кореляційної матриці, а також параметрів регресійного рівняння, на частку дослідника доводиться значна частина інтелектуальної праці - він направляє кожний наступний крок розрахунків, прагнучи при цьому знайти якісну модель при найменших витратах часу. Знаючи алгоритм, властивий обраному методу, дослідник повинен якось (вручну або за допомогою допоміжних електронних таблиць) наочно організувати найважливіші розрахункові дані, необхідні для ухвалення рішення (про включення або виключення фактору). Ця обставина відіграє важливу роль при порівнянні різних програмних інструментів кореляційно-регресійного аналізу.

Уважається, що чим більше інтелектуальних функцій передано програмі, тим вона краще. Деякі програми можуть будувати повний математичний вид рівняння на кожному кроці. Інші програми, після вказівки даних і методу, автоматично виконують весь каскад необхідних кроків (включення або виключення предикторів), і видають звіти про пророблені обчислення, реєструючи номера кроків, результати кожного кроку, обґрунтовуючи включення або виключення. Такий ідеальний приклад описаний нами в параграфі 5, присвяченому застосуванню статистичного пакета SPSS. Якщо ж на комп'ютері є лише електронна таблиця, то дослідника завжди виручить знання правил методу.

За підтримкою множинного регресійного аналізу засобами Excel можна відслідковувати черговість дослідницьких кроків, записуючи для кожного кроку: номер кроку, набір незалежних змінних, вид рівняння, головні оцінні дані:

коефіцієнти Фишера (F розрахунковий і F критичний) і детермінації R2.

Про використання t-статистики. Уміння використовувати t-статистику служить додатковим резервом для підвищення ефективності пошуку найкращого рівняння й контролю припущень про виключення незалежної змінної з рівняння. У деяких регресійних програмах, що базуються на методі виключення, може використовуватися не t/-критерій, а приватний F-Критерій. t-критерій являє собою корінь квадратний з величини частки F-Критерію, (F=t2 ). Таким чином, піднісши до квадрата /-критерій, можна одержати серію приватних значень F для окремих параметрів рівняння й перевірити рішення про виключення марної змінної, прийнятим іншим способом.

Для коректного використання t-статистики необхідно мати при собі публикуемую статистичну таблицю значень t-критерію Стьюдента (прикладена наприкінці глави). Критичне значення t вибирається із цієї таблиці й рівняється з розрахунковим.

t-статистика розроблена для малих вибірок, тобто вибірок, що складаються з порівняно невеликого числа спостережень - одного-двох десятків. Розподіл Стьюдента не дуже значно відрізняється від нормального. Це відмінність тим менше, чим більше п, і при п>30 практично швидко зникає.

Із множини методів пошуку найкращого рівняння регресії для практичного застосування за допомогою ЕОМ ми виділили два: методи виключення й кроковий регресійний метод.

Володіючи двома методами при наявності Excel, ви можете застосовувати кожний з них за своїм розсудом. При цьому ви зберігаєте повний контроль за виконанням розрахунків і організуєте їх по вашім задумі, ретельно оцінюючи результати за формальними критеріями (як це роблять математики), а також з погляду здорового глузду (як це постійно роблять фахівці у своїх предметних областях знання - у маркетингу, фінансах і ін). Цей стиль застосування складних методів і їхніх комп'ютерних інструментів відповідає сучасному рівню технологій кінцевого користувача.