МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХЕРСОНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ТЕХНІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

Реєстр. №

Конспект лекцій Частина іі з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”

для студентів ІІІ курсу спеціальності 7.092501 – “Автоматизоване управління технологічними процесами”

денної і заочної форми навчання

Херсон 2009

Конспект лекцій з дисципліни “Числові методи і моделювання на ЕОМ” Частина ІІ / к.т.н., доц. Тернова Т.І. – Херсон, ХНТУ, 2009. – 56 с.

Затверджено

на засіданні кафедри ТК

протокол № ___ від „___”__________ 2009 р.

Зав. кафедрою ТК Бражник О.М.

Відповідальний за випуск

к.т.н., доц. Бражник О.М.

ЗМІСТ

Лекція №10	4
Лекція №11	15
Лекція №12	21
Лекція №13	27
Лекція №14	35
Лекція №15	40
Лекція №16	44
Лекція №17	48
Лекція №18	52
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ	56

Лекция 10

ЧИСЛОВІ МЕТОДИ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ З

РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ДЛЯ ВІДШУКАННЯ ОПОРНОГО РІШЕННЯ. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДЛЯ ВІДШУКАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО РІШЕННЯ

1. Симплекс-Метод для відшукання опорного рішення

Отже, ми приступаємо до конкретного опису симплекса-методу. Нагадаємо позначення задачі (див. Лекцію 8):

при обмеженнях

.

Тут - змінні (аргументи), а , - постійні. Відповідно до попередньої підготовки, про яку мова йшла наприкінці Лекції 9, всі змінні або ненегативні, або вільні.

Побудуємо Робочу таблицю для симплекс-методу:

		...		1
		...
...	...		...	...
		...
z=				0

Робоча таблиця

відновлення умови задачі по такій таблиці очевидно; змінні у цій ситуації, відповідно до умови ОЗЛП, повинні бути ненегативні.

Викреслимо із цієї таблиці рядка, що відповідають нерівностям .

Виразимо за допомогою МЖИ в робочій таблиці всі вільні змінні через ненегативні змінні , наскільки це можливо. Рядка отриманої таблиці, ліворуч від яких виявляться вільні змінні, видалимо з таблиці й збережемо для подальших дій. Якщо після цього над таблицею залишиться хоч один вільне , то треба буде розглянути коефіцієнт при цьому в цільовій функції ; якщо цей коефіцієнт відмінний від нуля, то ОЗЛП не має рішення й подальших дій не потрібно. Якщо ж у цільовій функції коефіцієнт при вільній невідомій виявився рівним нулю, то в робочій таблиці варто видалити стовпець, над яким зазначена ця вільна змінна . Після цього варто приступитися до подальших дій з отриманої в результаті таблицею. Над її стовпцями тепер будуть вказані деякі зі змінних . Для визначеності будемо вважати, що таблиця має такий вигляд:

		...		1
		...	...	bn+1n+1...
...	...	...	...	...
		...
		...

Робоча таблиця 1

У найближчих діях буде несуттєво, який саме вид рядок-z-рядка. Тому Робочу таблицю 1 природно записувати без цього рядка:

		...		1
		...	...	bn+1n+1...
...	...	...	...	...
		...

Робоча таблиця 2

Помітимо, що в нас виникли Робоча таблиця, Робоча таблиця 1 і Робоча таблиця 2. Описувану нижче процедуру аналізу називають пошуком опорного рішення, тобто пошуком точки, що задовольняє всім обмеженням і, принаймні, одне з них перетворює в рівність.

Крок 1. Проглядається правий стовпець Робочої таблиці 2. Якщо всі його елементи ненегативні, то задача про пошук опорного рішення вирішена: опорним рішенням служить крапка . Якщо ж серед елементів правого стовпця є негативний, то переходимо до наступного кроку.

Крок 2. Нехай . Переглядаємо рядок № i. Якщо серед її елементів всі, крім крайнього правого, ненегативні, то умова задачі суперечливо й, отже, немає опорного (і будь-якого іншого) рішення. У цьому випадку процедура закінчена. Якщо ж негативне число в цьому рядку найшлося (крім крайнього правого), то переходимо до наступного кроку.

Крок 3. Нехай . Ми знайдемо зараз ненульовий елемент, що виконає роль розв'язні при модифікованому жордановом виключенні в Робочій таблиці 2. Стовпець цього елемента вже знайдений - це стовпець № . Розглянемо всі ті дроби , які більше або дорівнюють нулю, причому якщо такий дріб дорівнює нулю, то в розгляд вона включається лише за умови, що її знаменник позитивний. Виберемо серед цих дробів мінімальну. Нехай це буде, скажемо, дріб . Шуканим розв'язним елементом оголошується .

Після цього треба вернутися до Кроку 1.

Можна довести, що за кінцеве число таких повернень або з'ясується, що умова задачі суперечливо, або буде знайдене опорне рішення. Якщо по ходу перетворень Робочої таблиці 2 виникне таблиця, що повністю збігається з якоюсь таблицею на попередніх етапах, то виникає ситуація «зациклення». Доводять, що якщо при таких обставинах у моменти вибору мінімуму брати інший мінімум, а в моменти вибору негативного елемента - брати інший негативний елемент, то ситуація вирішиться.