Симплекс-Метод для відшукання оптимального рішення.
Отже, будемо вважати, що є ОЗЛП, що її дані пристосовані вже до застосування симплекс-методу й що, більше того, уже відшукали опорне рішення. У наведеному вище прикладі цей пошук відбувався без реальної присутності цільової функції, хоча на практиці, звичайно, цільова функція присутня і відповідна їй рядок повністю бере участь у модифікованих жордановых виключеннях. Будемо тому вважати, що перед переходом до пошуку оптимального рішення робоча таблиця має вигляд:
-
y1
...
yn
1
yn+1=
cn+1,1
...
cn+1,n
cn+1,n+1
...
...
...
...
...
ym=
cm,1
...
cm,n
cm,n+1
z=
q1
...
qn
Q
У цій таблиці правий стовпець не містить негативних чисел (крім, бути може, Q) і опорне рішення - це крапка y1=...= yn=0.
Опишемо дії знову по кроках.
Крок
1.
Переглядаємо z-рядок.
Якщо в ній немає негативних чисел (крім,
можливо, числа Q,
то задача вирішена: максимум цільової
функції є число Q,
а крапкою максимуму - крапка
,
яку треба переписати у вихідні змінні.
Якщо ж серед згаданих чисел є негативне,
скажемо
,
то переходимо до наступного кроку.
Крок 2. Переглядаємо стовпець негативного коефіцієнта .Якщо в цьому стовпці всі числа негативні або дорівнюють нулю, то задача вирішена: цільова функція необмежена. Якщо ж у цьому стовпці є позитивні числа, то переходимо до наступного кроку.
Крок
3.
Переглядаємо всі дробу
,
що задовольняють нерівності
>0
(звертаємо увагу: строго більше нуля!).
Вибираємо з них мінімальну й фіксуємо
номер рядка
,
якому цей мінімум відповідає. Елемент
приймається за розв'язний у модифікованому
жордановом виключенні, що і проводиться.
Після цього переходимо до Кроку 1.
Можна довести, що за кінцеве число проходів по зазначеним трьох кроках оптимальне рішення (або його відсутність) буде встановлено.
Підкреслимо на закінчення ще раз: якщо в процесі рішення виникає таблиця, що вже була раніше («зациклення»), те треба повернутися назад і при виборі останнього мінімуму взяти інший мінімум.
Приклад відшукання оптимального рішення
Розглянемо на закінчення приклад повного рішення ОЗЛП. Отже, знайти максимум функції
z=-3x1+6x2
при умовах:
y1=x1+2x2+1
0,
y2=2x1+x 2-4 0,
y3=x 1-x2+1 0,
y4=x 1-4x2+13 0,
y5=-4x1+x2+23 0.
Таким чином, тут тільки дві змінних - x1, x2 - і обидві є вільними. Побудуємо робочу таблицю:
-
-x1
-x2
1
y1=
-1
-2
1
y2=
-2
-1
-4
y3=
-1
1
1
y4=
-1
4
13
y5=
4
-1
23
z=
3
-6
0
Виключаємо вільні невідомі, а потім відповідні їм рядка не будемо записувати в подальші таблиці. Перший розв'язний елемент виділений у нижченаведеній таблиці сірим тлом:
-
-x1
-x2
1
y1=
-1
-2
1
y2=
-2
-1
-4
y3=
-1
1
1
y4=
-1
4
13
y5=
4
-1
23
z=
3
-6
0
Отримуємо:
-
- y1
-x2
1
x1=
-1
2
-1
y2=
-2
3
-6
y3=
-1
3
0
y4=
-1
6
12
y5=
4
-9
27
z=
3
-12
3
Тепер виключимо x2 за допомогою розв'язного елемента, виділеного сірим кольором:
-
- y1
-x2
1
x1=
-1
2
-1
y2=
-2
3
-6
y3=
-1
3
0
y4=
-1
6
12
y5=
4
-9
27
z=
3
-12
3
Одержимо:
-
- y1
- y2
1
x2=
-2/3
1/3
-2
y3=
1
-1
6
y4=
3
-2
24
y5=
-2
3
9
z=
-5
4
-21
І, таким чином, виходить наступна таблиця для подальших дій:
-
- y1
- y2
1
y3=
1
-1
6
y4=
3
-2
24
y5=
-2
3
9
z=
-5
4
-21
Тут правий стовпець уже позитивний і, отже, опорне рішення є: y1= y2=0. Тому переходимо відразу до пошуку рішення оптимального.
Переглядаємо рядок цільової функції. Якщо в ній не виявиться негативних чисел (крім, можливо, останнього праворуч), то задача вирішена. Але в нашім прикладі є негативне число - це -5. Отже, переглядаємо стовпець цього числа, відшукуючи в ньому позитивні числа. Якщо їх не виявиться, то задача вирішена - функція необмежена. Але в нашім прикладі позитивні числа в цьому стовпці є. Тому треба розглянути дробу виду >0 і вибрати з них мінімальну. У нашім прикладі - це дробу 6/1 і 24/3. Отже розв'язним елементом буде виділений сірим тлом у нижченаведеній таблиці:
-
- y1
- y2
1
y3=
1
-1
6
y4=
3
-2
24
y5=
-2
3
9
z=
-5
4
-21
У результаті модифікованого жорданова виключення одержуємо:
-
- y3
- y2
1
y1=
1
-1
6
y4=
-3
1
6
y5=
2
1
21
z=
5
-1
9
Знову в рядку цільовий функції негативний елемент, знову переглядаємо його стовпець і шукаємо мінімум серед чисел 6/1, 21/1. Розв'язний елемент виділений сірим фоном у нижченаведеній таблиці:
-
- y3
- y2
1
y1=
1
-1
6
y4=
-3
1
6
y5=
2
1
21
z=
5
-1
9
Помітимо, що при модифікованому жордановом виключенні таблиця заповнюється не одномоментно, а поелементно. Неважко помітити, що доцільно заповнювати таблицю, починаючи із зовнішнього кута, а саме (у даному прикладі):
-
- y3
- y4
1
y1=
12
y2=
6
y5=
15
z=
2
1
15
Тепер рядок цільової функції позитивний і, отже, відповідь знайдена:
максимум цільової функції дорівнює 15. Він досягається при y3=y4=0 і, отже y1=12, y2=6, y5=15, x2=4, x1=3.
Лекция 11
ЗАДАЧА АПРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЇ. ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИЙ БАГАТОЧЛЕН ЛАГРАНЖА Й РІЗНІ ФОРМИ ЙОГО ЗАПИСУ. ЗАДАЧА РІВНОМІРНОГО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЇ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ. БАГАТОЧЛЕНИ БЕРНШТЕЙНА