Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекц_по_ЧМ_Ч2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
30.04.2019
Размер:
2.17 Mб
Скачать
    1. Симплекс-Метод для відшукання оптимального рішення.

Отже, будемо вважати, що є ОЗЛП, що її дані пристосовані вже до застосування симплекс-методу й що, більше того, уже відшукали опорне рішення. У наведеному вище прикладі цей пошук відбувався без реальної присутності цільової функції, хоча на практиці, звичайно, цільова функція присутня і відповідна їй рядок повністю бере участь у модифікованих жордановых виключеннях. Будемо тому вважати, що перед переходом до пошуку оптимального рішення робоча таблиця має вигляд:

y1

...

yn

1

yn+1=

cn+1,1

...

cn+1,n

cn+1,n+1

...

...

...

...

...

ym=

cm,1

...

cm,n

cm,n+1

z=

q1

...

qn

Q

У цій таблиці правий стовпець не містить негативних чисел (крім, бути може, Q) і опорне рішення - це крапка y1=...= yn=0.

Опишемо дії знову по кроках.

Крок 1. Переглядаємо z-рядок. Якщо в ній немає негативних чисел (крім, можливо, числа Q, то задача вирішена: максимум цільової функції є число Q, а крапкою максимуму - крапка , яку треба переписати у вихідні змінні. Якщо ж серед згаданих чисел є негативне, скажемо , то переходимо до наступного кроку.

Крок 2. Переглядаємо стовпець негативного коефіцієнта .Якщо в цьому стовпці всі числа негативні або дорівнюють нулю, то задача вирішена: цільова функція необмежена. Якщо ж у цьому стовпці є позитивні числа, то переходимо до наступного кроку.

Крок 3. Переглядаємо всі дробу , що задовольняють нерівності >0 (звертаємо увагу: строго більше нуля!). Вибираємо з них мінімальну й фіксуємо номер рядка , якому цей мінімум відповідає. Елемент приймається за розв'язний у модифікованому жордановом виключенні, що і проводиться.

Після цього переходимо до Кроку 1.

Можна довести, що за кінцеве число проходів по зазначеним трьох кроках оптимальне рішення (або його відсутність) буде встановлено.

Підкреслимо на закінчення ще раз: якщо в процесі рішення виникає таблиця, що вже була раніше («зациклення»), те треба повернутися назад і при виборі останнього мінімуму взяти інший мінімум.

    1. Приклад відшукання оптимального рішення

Розглянемо на закінчення приклад повного рішення ОЗЛП. Отже, знайти максимум функції

z=-3x1+6x2

при умовах:

y1=x1+2x2+1 0,

y2=2x1+x 2-4 0,

y3=x 1-x2+1 0,

y4=x 1-4x2+13 0,

y5=-4x1+x2+23 0.

Таким чином, тут тільки дві змінних - x1, x2 - і обидві є вільними. Побудуємо робочу таблицю:

-x1

-x2

1

y1=

-1

-2

1

y2=

-2

-1

-4

y3=

-1

1

1

y4=

-1

4

13

y5=

4

-1

23

z=

3

-6

0

Виключаємо вільні невідомі, а потім відповідні їм рядка не будемо записувати в подальші таблиці. Перший розв'язний елемент виділений у нижченаведеній таблиці сірим тлом:

-x1

-x2

1

y1=

-1

-2

1

y2=

-2

-1

-4

y3=

-1

1

1

y4=

-1

4

13

y5=

4

-1

23

z=

3

-6

0

Отримуємо:

- y1

-x2

1

x1=

-1

2

-1

y2=

-2

3

-6

y3=

-1

3

0

y4=

-1

6

12

y5=

4

-9

27

z=

3

-12

3

Тепер виключимо x2 за допомогою розв'язного елемента, виділеного сірим кольором:

- y1

-x2

1

x1=

-1

2

-1

y2=

-2

3

-6

y3=

-1

3

0

y4=

-1

6

12

y5=

4

-9

27

z=

3

-12

3

Одержимо:

- y1

- y2

1

x2=

-2/3

1/3

-2

y3=

1

-1

6

y4=

3

-2

24

y5=

-2

3

9

z=

-5

4

-21

І, таким чином, виходить наступна таблиця для подальших дій:

- y1

- y2

1

y3=

1

-1

6

y4=

3

-2

24

y5=

-2

3

9

z=

-5

4

-21

Тут правий стовпець уже позитивний і, отже, опорне рішення є: y1= y2=0. Тому переходимо відразу до пошуку рішення оптимального.

Переглядаємо рядок цільової функції. Якщо в ній не виявиться негативних чисел (крім, можливо, останнього праворуч), то задача вирішена. Але в нашім прикладі є негативне число - це -5. Отже, переглядаємо стовпець цього числа, відшукуючи в ньому позитивні числа. Якщо їх не виявиться, то задача вирішена - функція необмежена. Але в нашім прикладі позитивні числа в цьому стовпці є. Тому треба розглянути дробу виду >0 і вибрати з них мінімальну. У нашім прикладі - це дробу 6/1 і 24/3. Отже розв'язним елементом буде виділений сірим тлом у нижченаведеній таблиці:

- y1

- y2

1

y3=

1

-1

6

y4=

3

-2

24

y5=

-2

3

9

z=

-5

4

-21

У результаті модифікованого жорданова виключення одержуємо:

- y3

- y2

1

y1=

1

-1

6

y4=

-3

1

6

y5=

2

1

21

z=

5

-1

9

Знову в рядку цільовий функції негативний елемент, знову переглядаємо його стовпець і шукаємо мінімум серед чисел 6/1, 21/1. Розв'язний елемент виділений сірим фоном у нижченаведеній таблиці:

- y3

- y2

1

y1=

1

-1

6

y4=

-3

1

6

y5=

2

1

21

z=

5

-1

9

Помітимо, що при модифікованому жордановом виключенні таблиця заповнюється не одномоментно, а поелементно. Неважко помітити, що доцільно заповнювати таблицю, починаючи із зовнішнього кута, а саме (у даному прикладі):

- y3

- y4

1

y1=

12

y2=

6

y5=

15

z=

2

1

15

Тепер рядок цільової функції позитивний і, отже, відповідь знайдена:

максимум цільової функції дорівнює 15. Він досягається при y3=y4=0 і, отже y1=12, y2=6, y5=15, x2=4, x1=3.

Лекция 11

ЗАДАЧА АПРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЇ. ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИЙ БАГАТОЧЛЕН ЛАГРАНЖА Й РІЗНІ ФОРМИ ЙОГО ЗАПИСУ. ЗАДАЧА РІВНОМІРНОГО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЇ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ. БАГАТОЧЛЕНИ БЕРНШТЕЙНА

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]