6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.

У тій же ситуації, що й вище, тобто при пошуку числа по числу й дорівнює равенству (6.4.1), існує ще один широко застосовуваний метод - метод Рунге-Кутта, що, як правило, швидше приводить до числа , чим метод Ейлера. Сформулюємо дії по методу Рунге-Кутта:

1й крок. Фіксуємо точність, з якої потрібно знайти значення . Позначимо це число через . Пояснимо, що це означає, що числа, що відрізняються менше, ніж на , уважаються однаковими.

2й крок. Фіксуємо довільне й розділимо відрізок на рівних частин:

, де .

3й крок. Побудуємо послідовність чисел

де

і

у якій, нагадаємо, . Позначимо через .

4й крок. Замінимо на й повторимо кроки 2 і 3. Отримане число (тобто останнє з обчислюються на кроці 3) позначимо тепер через .

5й крок. Якщо виявиться, що числа й відрізняються друг від друга менше, ніж на , то число вважається знайденим і рівним . У противному випадку перепозначимо через і повернемося до кроку 4.

Можна довести, що коли функція з (7.4.1) має безперервні частки похідні, описана процес обов'язково кінцевий і відповідь перебуває дійсно з кожної наперед заданою точністю.

6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних

рівнянь.

Система звичайних диференціальних рівнянь - це система рівнянь виду

(6.6.1)

Тут - аргумент, що змінюється в деякому проміжку , а - функції цього аргументу, що зустрічаються в рівностях системи (6.6.1) під знаками похідних, порядок яких не вище для . Знайти ці функції - нехай у вигляді таблиць значень - і означає вирішити систему (6.6.1). Існує клас задач, у яких треба знайти функції - функції, що задовольняють початковим умовам у деякій крапці :

Існує простий прийом відомості довільної системи рівнянь типу (6.6.1) до системи рівнянь, у якій похідні не бувають порядку вище першого: якщо, допустимо, , те думають

,

після чого в системі (6.6.1) з'являється нова невідома функція , але вищий порядок похідної, під яким зустрічається в новому варіанті функція вже на одиницю менше, а вищий порядок похідної нової функції , з яким вона входить у нову систему, теж не більше . Легко помітити, що таким прийомом можна будь-яку систему (7.6.1) звести до системи першого порядку:

(6.6.2) ,

Так само, як і у випадку одного рівняння, прийнято аналізувати лише ту ситуацію, при якій (6.6.2) можна дозволити відносно похідних, тобто звести все до системи

(6.6.3)

Легко, однак, для системи (6.6.3) відтворити, як формули Ейлера, так і формули Рунге-Кутта, причому твердження про те, що за допомогою цих формул можна наблизитися як завгодно точно до значень невідомих функцій у деякій крапці при наявності у функцій певних властивостей, залишається справедливим.