- •Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- •Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- •1.1. Про наближені обчислення
- •1.2. Лінійні заміни змінних
- •1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- •2.1.1. Перетворення Фур'є
- •2.2. Зворотна матриця
- •3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- •3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- •3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- •3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- •Метод простих ітерацій
- •Метод Зейделя
- •Метод ітерацій для рішення рівнянь
- •4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- •Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- •Лекція 6
- •6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- •6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- •6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- •6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- •6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- •Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- •Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- •8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- •8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- •8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- •8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- •Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- •9.1.Мова n-мірних точок.
- •9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- •Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- •Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- •Список рекомендованої літератури
1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Нагадаємо кілька визначень.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь – це система рівнянь виду:
|
(1.3.1) |
Тут – невідомі, а – задані коефіцієнти, які прийнятий записувати у вигляді матриць:
, .
Дуже часто в обговоренні таких систем рівнянь використовують матрицю
,
яку називають розширеною матрицею системи; матриця А називається матрицею системи, а матриця B матрицею вільних членів.
Розв'язання системи (1.3.1) - це такий набір чисел , що при підстановці , i=1,2,...,n, всі рівності в (1.3.1) стають тотожностями.
Система (1.3.1) називається спільною, якщо в неї є хоч одне розв'язання, і неспільною, якщо жодного розв'язання в неї немає.
Система (1.3.1) називається визначеною, якщо в неї є розв'язання й притім тільки одне.
Лекция 2
РОЗКЛАДАННЯ В РЯД ТЕЙЛОРА. ВИКОРИСТАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ. ПОЛІНОМИ ЧЕБИШЕВА. ЗАСТОСУВАННЯ ЖОРДАНОВИХ ВИНЯТКІВ ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ И ДО ОБЧИСЛЕННЯ ЗВОРОТНОЇ МАТРИЦІ
2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
Нехай функція задана в інтервалі . У цьому випадку (при наявності в неї відповідних властивостей інтегруемості) можна побудувати ряд Фур'є цієї функції, а саме об'єкт
(2.1.1) ,
де
(2.1.2) .
Відомо, що для безперервної функції цей ряд сходиться в кожній крапці інтервалу й притім - до значення в цій точці функції . Якщо підсумовування в ряді Фур'є перервати на якімсь доданку, то виникне наближена рівність
,
яке тим точніше, чим більше число доданків у сумі. У цьому й складається апроксимація функції по Фур'є.
Практично організація розрахунків при апроксимації відбувається так: задається той ступінь точності e, з якої треба наблизити число за допомогою часткових сум ряду (2.1.1); потім обчислюють, поступово нарощуючи кількість доданків, часткові суми ряду (2.1.1) і роблять це доти, поки два рази підряд не вийде при підсумовуванні те саме з точністю e число; його й приймають за потрібне наближення. Природно, що при обчисленні часткових сум ряду (2.1.1) потрібні коефіцієнти , які обчислюються за допомогою чисельного інтегрування через визначальні рівності (2.1.2).
Описана ситуація узагальнюється на випадок функції , заданої не на інтервалі , а на довільному інтервалі . У цьому випадку (для безперервної функції ) має місце рівність
(2.1.3)
усередині інтервалу , де
(2.1.4)
Прийнято виділяти випадки парної й непарної функції, тому що при цьому вираження (21.3) і (2.1.4) істотно спрощуються, а саме:
якщо на інтервалі функція парна, то для всіх мають місце рівності й
(2.1.5) ;
якщо на інтервалі функція непарна, то для всіх мають місце рівності й
(2.1.6) .
Ця обставина підказує вихід з положення, при якому функція задана не на інтервалі , а тільки на інтервалі : функцію можна продовжити на весь інтервал парним або непарним образом, а потім зробити розкладання Фур'є, відповідно по косинусах (випадок (2.1.5)) або по синусах (випадок (2.1.6)).