Лекція 6

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ

ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ Й ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ. МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ, А ТАКОЖ СИСТЕМ ТАКИХ РІВНЯНЬ

6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.

Нехай на відрізку задана функція в деякій системі крапок:

,

де .

Відомо, що в цієї функції є похідні всіх порядків. Потрібно знайти в деякій крапці ту або іншу похідну функції .

Перший спосіб рішення цієї задачі напрошується сам по собі: замінимо функцію її багаточленом Лагранжа, побудованим по заданій таблиці значень функції, а потім візьмемо необхідну похідну від нього, користуючись особою простотою будови багаточлена в змісті правил диференціювання.

Другий спосіб припускає, що крапка, у якій треба знайти похідну, є одним з вузлів таблиці, наприклад, . Тоді в якості шуканої першої похідної береться число

.

По цьому принципі можна обчислити в точках . Потім по перших похідних і колишньому принципі можна знайти в точках потім - - у точках і т.д.

6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.

Потрібно знайти

с тим або іншим ступенем точності. Відомі три класичних способи зробити це.

Спосіб № 1: метод прямокутників. Відрізок розбивається на рівних частин: довжиною ,

де .

Потім на кожній ділянці функція заміняється на константу , після чого шуканий інтеграл заміняється на інтеграл від нової східчастої функції, тобто на число

.

Можна довести, що справедливо наступну оцінку:

,

де - максимум модуля першої похідної функції на відрізку .

Спосіб № 2: метод трапецій.

У цьому методі шуканий інтеграл після розбивки відрізка на рівні частини заміняється на наступну суму (підсумуються площі трапецій, а не прямокутників, як у попередньому випадку):

,

де Можна довести, що якщо - вихідний обговорюваний інтеграл, то

,

де на відрізку .

Спосіб № 3: метод парабол. У цій ситуації відрізок розбивається на рівних частин: , де . На ділянках , функцію заміняють на параболу, що проходить через крапки й інтегралом від цієї параболи на ділянці заміняють інтеграл від функції на цій же ділянці, після чого всі ці інтеграли підсумують і результати приймають за інтеграл від по всьому відрізку . Отримана наближена формула називається формулою парабол або формулою Симпсона. От її остаточний вид:

.

Якщо ліву частину цього наближеної рівності позначити через , а праву - через , то виявиться виконаної наступна формула для оцінки погрішності:

,

де - максимум на інтервалі четвертої похідної функції .

6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівність

(6.3.1) ,

у якому - незалежна змінна, що змінюється в деякому відрізку , а - невідома функція від , що і треба знайти. Розрізняють два типи звичайних диференціальних рівнянь - рівняння без початкових умов і рівняння з початковими умовами. Рівняння без початкових умов - це саме те, що було тільки що визначене. А рівняння з початковими умовами - це записане вище рівняння щодо функції , але в якому потрібно знайти лише таку функцію , що задовольняє при деякому наступним умовам:

,

т.е. у крапці функція і її перші похідних приймають наперед задані значення. У цій ситуації число називається порядком рівняння.

Метод Ейлера чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.

Припустимо, що порядок рівняння (6.3.1) дорівнює 1 і, більше того, його можна представити виді

(6.4.1) .

У випадку першого порядку початкові умови перетворюються в єдину рівність:

.

Шукана функція при чисельному підході до проблеми рішення завжди сприймається через якусь таблицю своїх значень; іншими словами, за заданим значенням аргументу треба знайти такі , щоб таблиця

виявилася таблицею значень шуканої функції. Для цього, у свою чергу, досить за заданим значенням уміти знаходити значення в будь-якій крапці . От метод Ейлера для цього останнього пошуку:

1й крок. Фіксуємо точність, з якої потрібно знайти значення . Позначимо це число через . Пояснимо, що це означає, що числа, що відрізняються менше, ніж на , уважаються однаковими.

2й крок. Фіксуємо довільне й розділимо відрізок на рівних частин: , де .

3й крок. Побудуємо послідовність чисел

,

у якій, нагадаємо, . Позначимо через .

4й крок. Замінимо на й повторимо кроки 2 і 3. Отримане число (тобто останнє з обчислюються на кроці 3) позначимо тепер через .

5й крок. Якщо виявиться, що числа й відрізняються друг від друга менше, ніж на , то число вважається знайденим і рівним . У противному випадку перепозначимо через і повернемося до кроку 4.

Можна довести, що коли функція з (6.4.1) має безперервні частки похідні, описана процес обов'язково кінцевий і відповідь перебуває дійсно з кожної наперед заданою точністю.