Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекц_по_ЧМ_Ч1.doc
Скачиваний:
23
Добавлен:
30.04.2019
Размер:
2.3 Mб
Скачать

3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння

Ми зупинимося тут докладніше на методиці рішення алгебраїчного рівняння, тобто рівняння виду: , ліву частину якого будемо позначати також через ; нагадаємо, що мова йде тільки про речовинні коріння.

При роботі тої або іншої процедури часто виникає необхідність обчислити значення при якімсь ; організацію обчислення значення зручно проводити за схемою Горнера: будується рекурсія де , , так що .

Далі помітимо, що з алгебри відомо наступне: існує проста формула, по якій установлюється інтервал (-R,R) такий, що якщо рівняння має який-небудь (нагадуємо: речовинний!) корінь, то він виявляється усередині цього інтервалу, а саме:

,

де .

Припустимо тепер, що відносно похідній багаточлена відомі інтервали її знакопостоянства, тобто такі точки , що на ділянках функція знак не міняє, а проходячи через кожну із крапок міняє знак. Неважко обґрунтувати в цій ситуації наступні висновки: 1) якщо усередині інтервалу (-R,R) крапок немає взагалі й , те корінь (нагадуємо: речовинний!) у рівняння немає; 2) якщо в інтервалі (-R,R) крапки виявилися, то треба прорахувати в цих крапках і в крапках ; якщо серед цих значень нуля немає й всі вони мають той самий знак, то корінь (нагадуємо: речовинних!) рівняння не має; якщо ж серед цих значень будуть числа з різними знаками, те це дозволить виділити всі ділянки, на кінцях яких має різні знаки, а усередині яких знак не міняє. До кожної такої ділянки застосовна процедура уточнення кореня (ділення відрізка навпіл, методи хорд і дотичних).

І ще одне зауваження. Якщо речовинних коріння (усі) рівняння відомі, то по них повністю відновлюються ділянки знакопостоянства функції : треба прорахувати між будь-якими двома сусідніми коріннями й по сукупності знаків отриманих чисел зробити висновок.

Процедуру з'ясування ділянок знакопостоянства похідній можна організувати так. Обчислимо похідні багаточлена : ; помітимо, що похідна - лінійна функція. Тому ділянки її знакопостоянства можна обчислити. Якщо , то вже можливі формальні дії по описаній вище схемі по уточненню корінь вихідного рівняння. Якщо ж , то вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях установимо ділянки знакопостоянства функції ; потім вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях визначимо ділянки знакопостоянства функції й так далі, поки не виявиться вирішеним вихідне рівняння .

Отримана в процесі рішення інформація дозволяє встановити також і кратність кожного кореня рівняння ; нагадаємо, що корінь рівняння вважається має кратність , якщо , але . У цьому випадку, як відомо з алгебри, має місце представлення , де - багаточлен ступеня .

Для визначення значення полінома використовується таблиця Горнера.

Лекция 4

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. ЧИСЕЛЬНІ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ. МЕТОД ПРОСТИХ ІТЕРАЦІЙ І МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ. МЕТОД ІТЕРАЦІЙ ДЛЯ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ І ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

І ЇХНІХ СИСТЕМ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]