Лекция 4. Теоретическое обоснование симплекс- метода

План

1. Приведение задач ЛП к каноническому виду.

2. Различные формы задачи ЛП.

3. Общие сведения о симплексном методе решения задач ЛП.

1. Из геометрической интерпретации задачи линейной оптимизации видно, что максимум или минимум целевой функции достигается в угловой точке выпук- лого многогранника – ОДР. Поэтому в основу симплекс-метода положена идея рассмотрения и испытания на оптимальность только угловых точек – вершин многогранника. Сформулируем теоретические факты, на которых базируется симплекс-метод.

Для решения задач ЛП симплекс-методом необходимо, чтобы задача бы-

ла записана в каноническом виде.

_{Канонический вид задачи ЛП:}

_{1) Z → min ;}

2) Система ограничений содержит только равенства;

3) Правые части ограничений – неотрицательные числа;

4) Все переменные задачи – неотрицательные.

Пример 1. Задача ЛП удовлетворяет всем условиям канонического вида:

^{Z = −16x}₁ ^{− x}₂ ^{+ x}₃ ^{+ 5x}₄ ^{+ 5x}₅ ^{→ min ,}

⎨ _{1 2}

^{⎧2x1 + x2 + x3}

^{⎪−2x + 3x}

_{+ x4}

^{= 10}

^{= 6}

_⎩ 1 2

^{⎪2x + 4x}

^{− x}₅ ^{= 8}

^{x j ≥ 0 ( j = 1, 5 ).}

^{Любая задача ЛП может быть приведена к каноническому виду.}

Пример 2. Привести задачу ЛП к каноническому виду:

^{Z = −5x1 − 3x2 + 2x3 + 9 → max ,}

^{⎧3x1 + x2 + x3 ≥ −7}

^⎪

_⎩ 1

^{⎨2x1 + 3x2 + x4 = 1}

^{⎪ x ≥ 6}

^x₁ ^{≥ 0 ,}

^x₃ ^{≥ 0 ,}

^x₄ ^{≥ 0 .}

Решение. Запишем задачу в более удобном виде:

^{Z = −5x}₁ ^{− 3x}₂ ^{+ 2x}₃ ^{+ 9 → max ,}

^{⎧3x1 + x2 + x3}

_⎪

^{≥ −7}

x

^{⎨2x1 + 3x2}

^⎪

^{⎩ 1}

^{+ x4 = 1}

^{≥ 6}

^{x1 ≥ 0 ,}

^{x3 ≥ 0 ,}

^{x4 ≥ 0 .}

Задача ЛП не удовлетворяет ни одному из условий 1)-4) канонического вида. Поменяем знак правой части первого ограничения на противоположный, выполняя условие 3):

^{Z = −5x}₁ ^{− 3x}₂ ^{+ 2x}₃ ^{+ 9 → max ,}

^{⎧−3x1 − x2 − x3 ≤ 7}

_⎪

x

^{⎨2 x1 + 3x2}

^⎪

^{⎩ 1}

^{+ x4 = 1}

^{≥ 6}

^x₁ ^{≥ 0 ,}

^x₃ ^{≥ 0 ,}

^x₄ ^{≥ 0 .}

Не выполняется условие 4) о каноническом виде, т.к. переменная

^x₂ ^мо-

жет быть числом произвольного знака. Любое действительное число может

_{быть представлено разностью неотрицательных чисел: 5 = 7 − 2 , 0 = 3 − 3 ,}

_{−4 = 6 − 10 . Поэтому делаем замену x}

_{= x} ^/ _{− x} ^// _{, где}

_x ^/ _{≥ 0 и}

_x ^// _{≥ 0 . Записы-}

ваем задачу ЛП:

2 2 2 2 2

_{/ / //}

^{Z = −5x}₁ ^{− 3x}₂

^{+ 3x}₂

^{+ 2x}₃ ^{+ 9 → max ,}

_⎧−3x

_{− x} / _{+ x}

// _{− x ≤ 7}

_{1 2 2 3}

_⎪

_{2x + 3x}

_{/ − 3x //}

_{+ x = 1}

^⎨

^{⎪ x}

^{⎪⎩ 1}

1 2 2 4

^{≥ 6}

x

2

x

2

^x₁ ^{≥ 0 ,}

^{/ ≥ 0 ,}

^{// ≥ 0 ,}

^x₃ ^{≥ 0 ,}

^x₄ ^{≥ 0 .}

Не выполняется условие 1). Делаем замену

_{// / //}

^{Z // = −Z / :}

^{Z = 5x}₁ ^{+ 3x}₂

^{− 3x}₂

^{− 2x}₃ ^{− 9 → min ,}

_⎧−3x

_{− x} / _{+ x}

// _{− x ≤ 7}

_{1 2 2 3}

_⎪

_{2x + 3x}

_{/ − 3x //}

_{+ x = 1}

^⎨

^{⎪ x}

^{⎪⎩ 1}

1 2 2 4

^{≥ 6}

x

2

x

2

^x₁ ^{≥ 0 ,}

^{/ ≥ 0 ,}

^{// ≥ 0 ,}

^x₃ ^{≥ 0 ,}

^x₄ ^{≥ 0 .}

Осталось выполнить только условие 2). Добавляем в первое и третье ог-

_///

раничения балансовые переменные

^x₅ ^и

^x₆ ^{. Новая целевая функция}

Z будет

содержать эти переменные с коэффициентом 0.

Заметим, что начальная целевая функция Z не содержала переменную

x₄ . Значит, эта переменная входит во все целевые функции данного примера с коэффициентом 0.

Записываем задачу ЛП в каноническом виде:

_{/// / //}

^{Z = 5x}₁ ^{+ 3x}₂

^{− 3x}₂

^{− 2x}₃ ^{+ 0 ⋅ x}₄ ^{+ 0 ⋅ x}₅ ^{+ 0 ⋅ x}₆ ^{− 9 → min ,}

_⎧−3x

_{− x} / _{+ x}

// _{− x}

_{+ x = 7}

_{1 2 2 3 5}

_⎪

_{2x + 3x}

_{/ − 3x // + x = 1}

^⎨

^{⎪ x}

^{⎪⎩ 1}

1 2 2 4

^{− x6 = 6}

x

2

^x₁ ^{≥ 0 ,}

^{/ ≥ 0 ,}

^{// ≥ 0 ,}

^x₃ ^{≥ 0 ,}

^x₄ ^{≥ 0 ,}

^x₅ ^{≥ 0 ,}

^x₆ ^{≥ 0 .}

2. Пусть задача ЛП записана в каноническом виде:

x

^{Z = c1x1 + c2 x2 + ⋅⋅⋅ + cn xn → min , (1)}

+ a x + ⋅⋅⋅ + a x = b ,

2

^{⎧a11x1 + a12 x2 +⋅ ⋅ ⋅ + a1n xn = b1,}

^⎪

_{⎪a21x1 22 2 2n n 2}

^⎨

^{⎪...............................................,}

^{⎩⎪am1x1 + am2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amn xn = bm.}

(2)

^{xj ≥ 0 ( j =1, n) . (3)}

^{Рассмотрим матрицу-столбец переменных, матрицу-столбец свободных}

членов, матрицу коэффициентов при неизвестных, матрицу-строку коэффици-

_{ентов целевой функции:}

_{⎛ x1 ⎞}

_{⎛ b1 ⎞}

_{⎛ a11}

_a12

_...

_{a1n ⎞}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_{X = ⎜} ^x_{2 ⎟ ,}

_{B = ⎜} ^b_{2 ⎟ ,}

_{A = ⎜} ^a₂₁

^a₂₂

...

^a_{2n ⎟ , C = (c c}

_...

_{c ) .}

_{⎜ ... ⎟}

_{⎜ ... ⎟}

_{⎜ ... ... ... ... ⎟}

1 2 n

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_⎝ ^x_{n ⎠}

_⎝ ^b_{m ⎠}

_⎝ ^a_m1

^a_{m 2}

...

^a_{mn ⎠}

	Z = CX → min ,	(4)
	AX = B,	(5)
X ≥ 0 .		(6)

Тогда каноническая задача ЛП (1)-(3) может быть записана в матричной форме:

^{Матрицу,} _J^с_JG^ост_J^о_G ^ящ_JG^{ую из одного столбца или строки,} _J^м_JG^{ожно представлять}

^{как вектор, т.е. X , B , C . Введём дополнительно векторы A}_j

^{( j = 1, n ), коорди-}

_{наты которых – это j -е столбцы матрицы A . Тогда задача ЛП представима в}

векторной форме:

_{G JG}

_J^Z_JG^{= C ⋅ X}_JJG^{→ min ,}

_{JJG JG}

(7)

_JJG

^{A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2 + ... + An ⋅ xn = B , (8)}

^{X ≥ 0 .}

_JJG

(9)

Планом задачи (допустимым решением) называют вектор X , удовле-

творяющий условиям (2)-(3) или (5)-(6) или (8)-(9). Оптимальный план – это план, минимизирующий целевую функцию.

^Рас_JG^{смотрим векто}_J^р_JG^{ную форму (7)-(9). Уравнение (8) – это разложение}

вектора B

^{по векторам A}_j

^{( j = 1, n ) с коэффициентами разложения}

JG

^x _j ^.

^{Напомним, что система векторов A}_j

^{( j = 1, n ) называется линейно неза-}

висимой, если равенство

_{JJG JJG JJG G}

^{A1 ⋅ µ1 + A2 ⋅ µ2 + ... + An ⋅ µn = 0}

_{выполняется только при одновременном равенстве нулю коэффициентов раз-}

ложения, т.е.

^µ₁ ^{= µ}₂ ^{= ... = µ}_n ^{= 0. В противном случае векторы называют линейно}

зависимыми.

Если векторы

_JJG

A_j , входящие в разложение (8) с положительными коэф-

_JJG

фициентами

x _j , являются линейно независимыми, то вектор X

_JG

называют

^{опорным планом. А т.к. векторы A}_j

имеют m координат, то количество

^x _j ^{> 0}

в опорном плане не может превышать число m .

_{Опорный план называют невырожденным, если он содержит m положи-}

тельных компонент

^x _j ^{. В противном случае он – вырожденный. Если все воз-}

можные опорные планы задачи невырожденные, то это невырожденная задача ЛП. При наличии хотя бы одного вырожденного опорного плана задачу назы- вают вырожденной.

3. Рассмотрим некоторые свойства задачи ЛП.

Теорема 1. Множество всех планов задачи ЛП выпукло.

В общем случае ОДР либо пустая, либо является выпуклым многогран-

ным множеством.

_{Теорема 2. Пусть ОДР представляет собой выпуклый ограниченный мно-}

_{гогранник в пространстве}

_Rⁿ _{. Тогда целевая функция принимает своё мини-}

мальное (или максимальное) значение в одной из угловых точек. Если же целе- вая функция принимает своё экстремальное значение более чем в одной угло- вой точке, то экстремум достигается на всей выпуклой комбинации этих точек.

_{Каноническая задача ЛП в векторной форме (7)-(9) имеет свои специфи-}

ческие особенности.

Теорема 3. Если векторы

_{JG JJG JJG}

^A₁^{, A}₂ ^{,..., A}_k

являются линейно независимыми и

имеет место разложение

_{JJG JJG JJG JG}

^{A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2 + ... + Ak ⋅ xk = B ,}

n

^{где все}

^x j ^{≥ 0 , то точка}

^{X = (x}1^{, x}2 ^{,..., x}k ^{, 0,0,...,0) ∈ R}

^{будет угловой точкой ОДР.}

_JJG

Теорема 4. Если

^{X = (x1, x2 ,..., xn ) является угловой точкой ОДР, то векторы}

^A_j ^{из разложения (8), соответствующие положительным коэффициентам}

^x _j ^,

образуют линейно независимую систему.

Следствие 1 (из теорем 3 и 4). Если в задаче (7)-(9) векторы

_JJG

^A_j

имеют m

координат, то угловые точки ОДР

^{X = (x}₁^{, x}₂ ^{,..., x}_n ⁾

содержат не более m положи-

_{тельных координат, а остальные равны нулю.}

^{Решение зад}_JJ^а_G^ч_J^и_JG

^ЛП_JJG ^{(7)-(9) становится более удобным, если среди m -}

мерных векторов

^A₁^{, A}₂ ^{,..., A}_n

имеется m единичных векторов

_JJG

^{⎛ 1 ⎞}

^{⎜ ⎟}

0

0

⎜ ⎟

_JJG

^{⎛ 0 ⎞}

^{⎜ ⎟}

1

0

⎜ ⎟

_JJG

^{⎛ 0 ⎞}

^{⎜ ⎟}

0

1

⎜ ⎟

^{A1 = ⎜} ...^{⎟ ,}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A₂ = _{⎜ ...⎟} ,…,

⎜ ⎟

⎝ ⎠

^{Am = ⎜} ...^{⎟ .}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Т.к. эти векторы линейно независимы и их количество совпадает с размерно-

^{стью пространства, то данные векторы образуют базис пространства}

Рассмотрим произвольный вектор из разложения (8):

^{⎛ a1 j ⎞}

⎜ ⎟

^{Rm .}

JJG

_⎜ ^a2 j _{⎟ .}

a

A_j = _⎜

... ^⎟

⎜ ⎟

_⎝ mj _⎠

Этому вектору соответствует переменная

_JJG

x _j и коэффициент c _j

целевой функ-

^{ции. Вектор A}_j

допускает единственное разложение в единичном базисе

_{JJG JJG JJG JJG}

^A₁ ^{⋅ a}_{1 j} ^{+ A}₂ ^{⋅ a}_{2 j} ^{+ ... + A}_m ^{⋅ a}_mj ^{= A}_j ^{, (10)}

которому соответствует единственное значение целевой функции

^c₁ ^{⋅ a}_{1 j} ^{+ c}₁ ^{⋅ a}_{2 j} ^{+ ... + c}_m ^{⋅ a}_mj ^{= z} _j ^{. (11)}

JG

Теорема 5. Пусть

^{X1 = (x1, x2 ,..., xn )}

является опорным планом задачи (7)-

^{(9). Если для некоторого вектора A}_j

выполняется условие

^z _j ^{− c} _j ^{> 0 , то данный}

_{опорный план не будет оптимальным и можно построить другой опорный план}

^X ₂ ^{, для которого}

^{z( X} ₂ ^{) < z( X}₁ ^{) .}

Заметим, что опорный план

^X ₂ ^{является лучшим по сравнению с}

X₁ .

Критерий

^{z j − cj}

_{из (10) и (11) называют оценками оптимальности. Если для}

_JJG

^{некоторого опорного плана разложения всех векторов A}_j

^{( j = 1, n ) в данном ба-}

зисе удовлетворяют условию

^z _j ^{− c}_j ^{≤ 0 , то данный план является оптимальным.}

С учётом всего сказанного, симплексный метод – это метод последова-

тельного улучшения плана при решении задачи ЛП.

Симплекс-метод впервые предложил в 1947 г. американский математик

Дж. Данциг. Название метода происходит от английского слова «simple» – про-

стейший. Это связано с тем, что на начальном этапе развития метода, ОДР име-

_{ли простейший вид. Например, ОДР представляла собой пирамиду в простран-}

_стве

_R³ _{с вершинами}

_{O(0; 0; 0) ,}

_{A(1; 0; 0) ,}

_{B(0;1; 0)}

_{и C (0; 0;1) . Эту пирамиду}

иногда называют симплексом.