Лекция 15. Практические способы формирования оптимальных фондовых портфелей

План

1. Замечание Тобина к модели Марковица. Комбинированные портфели ценных бумаг.

_{2. Практическая реализация модели Марковица-Тобина.}

1. Согласно модели Марковица, оптимальная структура

^x(m_p ^{) = am}_p ^{+ b}

(1)

и оптимальный риск портфеля

_σ

_{(m ) =}

_{cm 2 + dm + e}

₍₂₎

p p p p

зависят от ожидаемой эффективности

^m_p ^{. Выбор значения m}_p

зависит от

склонности инвестора к риску. Как разумно определить эту константу?

Один из подходов – использовать замечание Тобина к модели Маркови- ца. Джеймс Тобин предложил формировать комбинированные фондовые портфели, т.е. портфели, состоящие из рисковой и безрисковой частей. Рис- ковая часть представлена n «перспективными» акциями, отобранными в порт- фель. Безрисковая – надёжными облигациями или банковским счётом. Единст-

венной характеристикой последней является безрисковая эффективность

^r₀ ^.

Причём, должно выполняться неравенство

^m_p ^{> r}₀ ^{. В противном случае, в ком-}

_{бинированный портфель не должны включаться рисковые ценные бумаги. На-}

^{личие константы r}₀

позволяет определить оптимальную ожидаемую эффектив-

ность

^m_p ^*

рисковой части портфеля. При этом выбор инвестором значения

^m_p ^*

уже не будет зависеть от его склонности к риску, а будет определяться

макроэкономическим показателем

^r₀ ^.

_{Решение этой задачи имеет графическую интерпретацию. Отложим по}

горизонтальной оси показатель

^m_p ^{, по вертикальной – σ} _p ^{. В такой системе ко-}

^{ординат построим кривую риска (2). Отложим на горизонтальной оси точку r}₀

_{и проведём касательную из этой точки к кривой риска. Абсцисса точки касания}

определит оптимальную ожидаемую эффективность

^m_p ^{* , ордината – опти-}

мальный риск

^σ _p ^{* . С помощью (1) будет найдена оптимальная структура}

рисковой части фондового портфеля, не зависящая от склонности инвестора к риску. Полученный таким образом портфель ценных бумаг принято называть касательным.

Аналитически абсцисса точки касания

_{касательной к кривой риска:}

m_p *

определяется из уравнения

_{σ (m}

_{) − σ}

_{(m *) = σ}

^/ _(m

_{*) ⋅ (m}

_{− m *) . (3)}

p p p p p p p p

Касательная проходит через точку

^(r₀ ^{; 0) . Поэтому подставим в уравнение (3)}

^m_p ^{= r}₀ ^{. Т.к. данный актив – безрисковый, то σ} _p ^(r₀ ^{) = 0 . Из уравнения (3) нахо-}

дим

m_p * .

_{Замечание 1. Во-первых, в силу геометрических особенностей, абсцисса}

точки касания может оказаться отрицательной или случится так, что

^m_p ^{* ≤ r}₀ ^.

Во-вторых, значение

^m_p ^*

может оказаться меньшим, чем минимальная ожи-

даемая эффективность

m₁ рисковой части портфеля, либо большим, чем

₁

m_n .

Тогда рекомендуется в качестве

^m_p ^*

рассматривать

^(m₁ ^{+ m}₂ ^{+ ... + m}_n ^{) , т.е.}

ⁿ

среднюю арифметическую ожидаемых эффективностей.

_{Решение задачи Марковица-Тобина подразумевает, что доли вложения}

капитала

^x_i ^{могут быть любого знака. Если}

^x_i ^{≥ 0 , то это означает рекоменда-}

цию вложить долю

^x_i ^{капитала в ценные бумаги вида i . Если}

^x_i ^{< 0 , то это оз-}

начает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве

^{(− xi ) , т.е. участвовать в операции «short sale» (игра на ценных бумагах, взятых}

^{в долг). Заметим, что разрешение на «short sale» по конкретной акции даёт}

биржа и эта операция далеко не всегда разрешена. На фондовом рынке Украи-

ны она вообще не практикуется.

_{Замечание 2. Чтобы избегнуть отрицательных долей вложения, можно}

задать условие

^x_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, n ). Это значит, что необходимо найти решение сис-}

темы линейных неравенств:

^⎧a₁^m _p ^{+ b}₁ ^{≥ 0}

+ b ≥ 0

^⎪

^{⎪a2 m p 2}

^⎨

_⎩

^{⎪..................}

^{⎪an m p + bn ≥ 0}

(4)

_{Если существует решение m}

_∈[m

^min _{; m}

^max _{] , то инвестору предлагается в каче-}

p p p

_{стве оптимальной ожидаемой эффективности выбрать середину интервала:}

_m ^min _{+ m}

max

m

₌

^{opt p p} _.

^p 2

Замечание 3. Может случиться, что система неравенств (4) не имеет ре-

шения. Практическая рекомендация инвестору может быть следующей. Ценные бумаги, чьи доли вложения отрицательны, следует исключить из фондового

портфеля («обнулить» доли вложения) и весь капитал инвестора распределить между оставшимися активами.

2. Продемонстрируем решение задачи Марковица-Тобина на конкретном при-

мере.

Пример 1. По данным примера 1 из лекции 12 в портфель ценных бумаг были отобраны три «перспективные» ценные бумаги, которые характеризуются столбцом ожидаемых эффективностей m и матрицей ковариаций V :

_{⎛ 30,1852 ⎞}

_{⎛ 968,1756 862, 9458}

_{−24, 4856 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{m = ⎜ 48, 4259 ⎟ ,}

^{⎜ 65, 5556 ⎟}

^{V = ⎜ 862, 9458 4004, 3896 3558, 7449 ⎟ .}

_{⎜ ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{⎜ −24, 4856 3558, 7449 10923, 457 ⎟}

Для их расчёта можно использовать функции СРЗНАЧ( ) и КОВАР( ), соответ-

ственно.

_{Требуется:}

1) найти в общем виде структуру оптимального рискового портфеля

^x(m_p ^{) и}

соответствующий риск

_{лями вложения;}

^{σ p (mp )}

и составить портфель с неотрицательными до-

_{2) найти оптимальную, не зависящую от склонности инвестора к риску струк-}

туру рисковой части портфеля

^x(m_p ^{*) , если принять во внимание, что имеются}

безрисковые ценные бумаги с эффективностью

^r₀ ^{= 5% . Указать ожидаемую}

эффективность

^m_p ^{* и риск σ} _p ^{* полученного портфеля;}

_{3) найти оптимальное распределение вложений (в процентах и денежных сред-}

ствах)

^x_C ^{, ожидаемую эффективность оптимального комбинированного порт-}

^{феля m}_C

^{и его риск σ} _C ^{. В портфель инвестируется C = 4000}

грн., из которых

25% вкладывается в безрисковые ценные бумаги, а оставшиеся 75% – в риско-

вую часть портфеля.

_{Решение. 1) Составляем расширенную матрицу:}

_Z=

1936,3512 1725,8916 -48,9712 1725,8916 8008,7791 7117,4897 -48,9712 7117,4897 21846,914	30,1852 48,4259 65,5556	1 1 1
30,1852 48,4259 65,5556	0 0 0 0
1 1 1

Оптимальная структура рисковой части портфеля ценных бумаг опреде- ляется соотношением (1). Для нахождения матриц a и b найдём матрицу, об- ратную матрице Z .

_Z^-1₌

4,479E-05 -9,249E-05	-9,249E-05 0,0002	4,77E-05 -9,849E-05	-0,0412 0,0267	2,3185 -0,9603
4,77E-05	-9,849E-05	5,079E-05	0,0145	-0,3582
-0,0412 2,3185	0,0267 -0,9603	0,0145 -0,3582	-15,3651 498,2382	498,2382 -17888,943

_{Вектор-столбцы a и b выделены линией.}

_{Напомним алгоритм действий для вычисления обратной матрицы Z}^-1_{: а)}

_{выделить место, в котором расположится Z}^-1 _{(в нашей задаче размерность}

^{5 × 5 ); б) вызвать функцию МОБР( ) с помощью опции «fx» – «Вставка функ-}

^{ции»; в) нажать клавишу «F2» и затем комбинацию клавиш}

«Ctrl»+«Shift»+«Enter».

_{Согласно (1) оптимальная структура рисковой части портфеля ценных}

бумаг

x(m_p )

будет иметь вид:

_{-0,0412 2,3185}

^x(m_p ^{) = 0,0267 * m}_p

+ -0,9603 . (5)

0,0145 -0,3582

Для составления портфеля с неотрицательными долями вложения (см. за-

мечание 2) решим систему (4):

^{⎧−0, 0412m} _p ^{+ 2, 3185 ≥ 0}

^⎪

^{⎨0, 0267mp − 0, 9603 ≥ 0}

^⎪

^{⎩0, 0145m p − 0, 3582 ≥ 0}

Получим

^m_p ^{∈[35, 9663;56, 2743] . Оптимальная ожидаемая эффективность:}

_opt

_{35, 9663 + 56, 2743 46,1203%}

^{mp =} ₂ ^{= .}

Найдём по формуле (5) структуру оптимального портфеля:

0,4183 x(46,1203) = 0,2711

0,3106

_{Дисперсия эффективности оптимального портфеля:}

_{D (m}

_{) = cm}

² _{+ dm}

_{+ e .}

Имеем:

_{c = a}T _{Va = 7, 6826 ;}

p p p p

_{d = 2a}^T _{Vb = −498, 2382 ;}

_{e = b}T _{Vb = 8944, 4715 .}

Использовалась функция умножения матриц МУМНОЖ( ), для которой приме-

ним тот же алгоритм а)-в).

В соответствие с (2) функция оптимального риска фондового портфеля будет иметь вид:

_{σ (m ) =}

_{7, 6826m}

² _{− 498, 2382m}

_{+ 8944, 4715 .}

p p p p

m

Подставляя ожидаемую эффективность

^{риск портфеля: σ} _p ^{(46,1203) = 48, 0322% .}

opt p

^{= 46,1203% , найдём оптимальный}

_{2) На данном этапе нужно найти оптимальную, не зависящую от склонно-}

сти инвестора к риску структуру рисковой части портфеля

^x(m_p ^{*) , если при-}

_{нять во внимание, что имеются безрисковые ценные бумаги с эффективностью}

^{r0 = 5% . Требуется рассчитать ожидаемую эффективность}

^{лученного портфеля.}

_{Из уравнения касательной (3), выводится формула:}

m_p *

^{и риск σ p *}

по-

В нашем случае

^{mp * =}

^mp ^{* = 36, 5384% .}

^{dr0 + 2e .}

^{−2cr0 − d}

Согласно (5), находим оптимальную структуру рисковой части фондового портфеля:

0,8136 x(36,5384) = 0,0141

0,1723

^{Оптимальный риск портфеля: σ p * = σ p (36, 5384) = 31, 5642% .}

^{3) Последняя часть задачи предполагает найти оптимальный комбиниро-}

_{ванный портфель ценных бумаг. В портфель инвестируется}

_{C = 4000}

_{грн., из}

_{которых 25% вкладывается в безрисковые ценные бумаги, а оставшиеся 75% –}

в рисковую часть портфеля. Т.о. доля безрисковой части составляет

^x₀ ^{= 0, 25 , а}

^{рисковой – 1 − x}₀ ^{= 0, 75 . В денежных средствах это, соответственно, составляет}

^Cx₀ ^{= 1000}

грн. и

^{C (1 − x}₀ ^{) = 3000}

грн. Т.е. из 4000 грн. сумма 1000 грн. вклады-

вается в безрисковые ценные бумаги с эффективностью

^r₀ ^{= 5% . Оставшиеся}

3000 грн. распределяются между тремя рисковыми ценными бумагами. Следо-

_{вательно, комбинированный портфель состоит из 4-х ценных бумаг. Его струк-}

тура

^x_C ^{определяется следующим образом:}

_{⎛ x0 ⎞}

₋

^{⎜ ⎟}

^{⎜ x1 (1 x0 ) ⎟}

^{xC = ⎜ x2 (1 − x0 ) ⎟}

_{⎜ ⎟}

_⎝ n 0 _⎠

_⎜ ^... _⎟

Для нашей задачи имеем:

^{⎜ x (1 − x ) ⎟}

^0,2500

x_C = 0,6102

0,0105

_0,1293

Умножив, каждую из долей вложения

_{ние вложений в денежных средствах:}

x_C на

^{C = 4000}

грн., найдём распределе-

1000 грн.

x_C = 2440,68 грн.

42,24 грн.

517,08 грн.

Ожидаемая эффективность комбинированного портфеля m_C

^σ _C ^{определяются, соответственно, по формулам:}

и его риск

^m_C ^{= r}₀ ^x₀ ^{+ m}_p ^{* ⋅(1 − x}₀ ^{) ,}

_Имеем:

^{σ C = σ p * ⋅(1 − x0 ) .}

^m_C ^{= 5 ⋅ 0, 25 + 36, 5384 ⋅ 0, 75 = 28, 6538% ,}

^{σ C}

^{Задание выполнено.}

^{= 31, 5642 ⋅ 0, 75 = 23, 6732% .}