Теорема 2.
Если:
1) определена на
2)
то для
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию
,
тогда эта функция непрерывна как разность
непрерывных функций.
и
- значения разных знаков
по
теореме 1
Замечание: ни одно из условий теоремы не может быть нарушено.
Пример, когда не выполнено условие непрерывности в теореме 1.
§4.5. Открытые и замкнутые множества.
Определение 1 Точка
называется внутренней для множества
,
если она ему принадлежит вместе с
некоторой окрестностью.
Определение 2 Множество называется открытым, если любая его точка является внутренней для этого множества.
открытое
множество
не
открытое множество из-за точки
Определение 3 Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои конечные предельные точки.
не
открытое и не замкнутое множество
- замкнутое множество
Есть множества, которые одновременно
являются и открытыми, и замкнутыми:
.
Определение Для
его дополнением называется множество
- разность множеств, т.е. множество точек
из
,
не входящих в множество
(
- дополнение к множеству
).
Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).
1) Для того, чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнутым.
2) Для того, чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было открытым.
§4.6. Компакты.
Определение Множество называется компактом, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из этого же множества.
Теорема (критерий компакта).
Для того чтобы множество было компактом необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено.
Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
Функция, непрерывная на компакте:
1) ограничена на нем;
2) достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.
§4.7. Классификация разрывов функции.
Функция
непрерывна в точке
,
тогда разрывность в точке
2) Если в точке
,
то говорят, что в точке
разрывность первого рода или устранимый
разрыв: если переопределить значение
функции в точке
и назначить это значение равное
,
то получим непрерывную функцию.
Пример:
Пусть
- не непрерывная функция
- функция станет непрерывной
1) Если в точке предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что в этой точке разрыв второго рода.
Если - внутренняя точка , тогда непрерывность в точке равносильна непрерывности как справа, так и слева, значит разрывность в точке равносильна наличию разрыва либо справа, либо слева.
Определение
имеет в точке
разрыв первого рода справа (слева), если
- разрыв второго рода
- разрыв
- непрерывность
Определение Двусторонний разрыв в точке называется разрывом первого рода, если односторонние разрывы в этой точке только первого рода и разрывом второго рода, если хотя бы одна из односторонних – разрыв второго рода.