Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
017293_73925_vasileva_l_i_lekcii_po_matematiche....doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.04.2019
Размер:
3.59 Mб
Скачать

Теорема 2.

Если:

1) определена на

2)

то для

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию , тогда эта функция непрерывна как разность непрерывных функций. и - значения разных знаков по теореме 1

Замечание: ни одно из условий теоремы не может быть нарушено.

Пример, когда не выполнено условие непрерывности в теореме 1.

§4.5. Открытые и замкнутые множества.

Определение 1 Точка называется внутренней для множества , если она ему принадлежит вместе с некоторой окрестностью.

Определение 2 Множество называется открытым, если любая его точка является внутренней для этого множества.

открытое множество

не открытое множество из-за точки

Определение 3 Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои конечные предельные точки.

не открытое и не замкнутое множество

- замкнутое множество

Есть множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми: .

Определение Для его дополнением называется множество - разность множеств, т.е. множество точек из , не входящих в множество ( - дополнение к множеству ).

Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).

1) Для того, чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнутым.

2) Для того, чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было открытым.

§4.6. Компакты.

Определение Множество называется компактом, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из этого же множества.

Теорема (критерий компакта).

Для того чтобы множество было компактом необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено.

Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.

Функция, непрерывная на компакте:

1) ограничена на нем;

2) достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.

не ограничена и нет наибольшего значения

§4.7. Классификация разрывов функции.

Функция непрерывна в точке , тогда разрывность в точке

2) Если в точке , то говорят, что в точке разрывность первого рода или устранимый разрыв: если переопределить значение функции в точке и назначить это значение равное , то получим непрерывную функцию.

Пример:

Пусть - не непрерывная функция

- функция станет непрерывной

1) Если в точке предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что в этой точке разрыв второго рода.

Если - внутренняя точка , тогда непрерывность в точке равносильна непрерывности как справа, так и слева, значит разрывность в точке равносильна наличию разрыва либо справа, либо слева.

Определение имеет в точке разрыв первого рода справа (слева), если

- разрыв второго рода

- разрыв

- непрерывность

Определение Двусторонний разрыв в точке называется разрывом первого рода, если односторонние разрывы в этой точке только первого рода и разрывом второго рода, если хотя бы одна из односторонних – разрыв второго рода.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.