- •Лекция №1.
- •§1. Множество вещественных чисел.
- •§1.1. Понятие вещественного числа и числовая ось.
- •§1.2. Граница числовых множеств.
- •§1.3. Абсолютная величина числа.
- •§1.4. Числовая ось.
- •§2. Функции
- •§2.1. Понятие функции.
- •§2.2. График функции.
- •Лекция № 2.
- •§2.3.Обратная функция.
- •§2.4. Композиция функции.
- •§2.5. Основные элементарные функции.
- •§2.6. Классификация функций.
- •§3. Предел функции.
- •§3.1. Окрестности.
- •Теорема.
- •§3.2. Определение предела функции.
- •§3.3. Основные свойства предела.
- •§3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Теорема.
- •§3.5. Пределы результатов арифметических действий. Теорема.
- •§3.6. Односторонние пределы.
- •§3.7. Свойство предела в области значений функции. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§3.8.Сравнение функции при на .
- •§3.9. Число е.
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§3.10. Лемма о вложенных промежутках.
- •Лемма (Коши-Кантора).
- •§3.11. Лемма (Больцано-Вейерштрасса) о выделении сходящейся последовательности.
- •Лемма (Больцано-Вейерштрасса).
- •§3.12. Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности.
- •Теорема (критерий Больцано-Коши).
- •Теорема 2 (критерий Больцано-Коши: существования конечного предела функции).
- •§3.13. Некоторые эквивалентности и формулы полезные при вычислении пределов.
- •§4. Непрерывные функции.
- •§4.1. Понятие непрерывной функции.
- •§4.2. Свойства непрерывной функции.
- •Теорема(о непрерывности сложной функции):
- •Теорема 1.
- •Теорема 2(о непрерывной монотонной функции).
- •Теорема 3(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)
- •§4.3. Непрерывность элементарных функций.
- •§5.2. Основные правила вычисления производной. Теорема (о производной результатов арифметических действий)
- •§4.4. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§4.5. Открытые и замкнутые множества.
- •Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).
- •§4.6. Компакты.
- •Теорема (критерий компакта).
- •Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •§4.7. Классификация разрывов функции.
- •§5. Производные функции.
- •§5.1. Понятие производной.
- •§5.2. Основные правила вычисления производной Теорема (о производной результатов арифметических действий)
- •Теорема.
- •Теорема.
- •§5.3. Связь между существованием производной и касательной.
- •§5.4. Понятие дифференциалов функции.
- •Теорема
- •§5.5. Основные формулы и правила вычисления дифференциала.
- •Теорема.
- •Теорема.
- •§5.6. Использование дифференциала для приближенных вычислений.
- •§5.7. Производные высших порядков (в.П.).
- •§5.8. Дифференциалы высших порядков (в.П.).
- •§4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •§4.1. Теорема Ферма.
- •Теорема Ферма(о нуле производной).
- •§6.2. Теорема Роля Теорема Роля
- •§6.3. Теорема Лагранжа. Теорема.
- •§6.4. Теорема Коши о конечных приращениях. Теорема.
- •§6.5. Формула Тейлора.
- •§6.6. Приложение формулы Тейлора.
- •§6.7. Правило Лапиталя. Теорема (правило Лапиталя-Бернулли).
- •§7. Исследование функции с помощью производной.
- •§7.1. Признаки монотонности и постоянства функции. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3(необходимый признак монотонности)
- •§7.2. Экстремум функции.
- •Теорема.
- •Теорема 1(первый достаточный признак)
- •Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)
- •§7.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
- •§7.4. Направление вогнутости и точки перегиба графика функции.
- •§7.5. Асимптоты к графику функции.
- •Теорема (критерий наклонной асимптоты).
- •§7.6. Построение графика функции с использованием производных.
§6.3. Теорема Лагранжа. Теорема.
Если:
1) непрерывна на
2) в
тогда существует точка (1)
Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа, т.к. , тогда .
Геометрический смысл:
геометрически означает, что угол наклона касательной в точке равен углу наклона хорды .
Формулу (1) называют формулой конечных приращений Лагранжа и записывают в виде: (1)
§6.4. Теорема Коши о конечных приращениях. Теорема.
Пусть функция и :
непрерывны в
имеют конечные производные и в
и конечна
тогда существует точка (1)
Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши, которая получается, если .
Доказательство:
а) сначала покажем, что , т.е. . Если допустить противное: , то функция удовлетворяет условиям теоремы Роля , а это противоречит условию (3)
б) введем вспомогательную функцию Утверждается, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы Роля
, т.е. получена формула (1)
В литературе все рассмотренные теоремы: Ферма, Роля, Лагранжа и Коши – называются теоремами о среднем.
§6.5. Формула Тейлора.
Для многочленов.
Любой многочлен -ной степени можно записать в следующем виде: (1). Возьмем . Многочлен вида (1) можно записать по степеням . Для этого
(по биному Ньютона
)
Группируемпо степеням и получаем, что многочлен: (1’)
Для определения коэффициентов положим в формуле (1’) такое условие, что
Таким образом, с учетом полученных формул (2) формулу (1’) можно переписать в следующем виде : (1’’).
Формула (1’’) – это формула Тейлора для многочлена -ной степени.
Замечание: Если многочлен записан в виде (1’) по степеням , то его коэффициенты выражаются по формуле (3), по которой можно сказать, что вычисляются коэффициенты по известным производным и наоборот. Поэтому, если многочлен записан в виде , то ясно, что все производные в точке равны соответственно
.Для функций.
Рассмотрим функцию , которая точке имеет все необходимые производные.
Многочлен дает приближение функции на величину . Многочлен обладает свойством , что его значение в точке и первая производная в точке совпадают с таковыми для самой функции. Возникает гипотеза, что многочлен -ного порядка даст еще большее приближение нашей функции, причем значение этого многочлена и его производной в точке совпадает с таковыми для самой функции.
(4) – многочлен Тейлора -ной степени для функции с центром в точке .
Обозначая , можно записать: (5)- формула Тейлора -ной степени для функции с центром в точке и остаточным членом .
Замечание. Записывая , говорят, что остаточный член записан в форме Пеано. Формула Тейлора для функции при называют формулой Маклорена:
Лекция №12.
§6.6. Приложение формулы Тейлора.
Для разложения некоторых функций (все разложения будут рассматриваться по формуле Маклорана, т.е. при ).
1)
2)
В разложении будут отсутствовать четные номера производных, а нечетные будут чередоваться, начиная с +1.
3)
В разложении будут отсутствовать нечетные номера, а четные будут чередоваться, начиная с +1.
4)
5) Биноминальное разложение
Если в полученных формулах взять в виде (в форме Пиана), то увидим, что все они дают нам более точные, чем известные нам ранее выражения эквивалентности для функций , приближения.
Для вычисления некоторых функций.
При разложении формул Тейлора можно оценить погрешность этой формулы, т.л. она равна (по абсолютной величине) первому отброшенному члену.
Например:
определяем погрешность
Для вычисления пределов.