§7.5. Асимптоты к графику функции.

Прямая называется асимптотой для некоторой кривой, если при удалении вдоль кривой в бесконечность расстояние между кривой и прямой стремится к нулю, но не равно нулю.

Вертикальная асимптота.

Определение Прямая называется вертикальной асимптотой к графику функции, если

Пример:

Наклонные асимптоты.

Определение Прямая называется правой (левой) наклонной асимптотой к графику функции , если (1)

Геометрический смысл формулы (1) в том, что разница ординат точки прямой и кривой стремится к нулю.

Для практического нахождения асимптот служит теорема.

Теорема (критерий наклонной асимптоты).

Для того чтобы прямая была наклонной асимптотой к графику функции необходимо и достаточно, чтобы:

а) существовал ;

б) существовал

Доказательство:

Необходимость: итак, - наклонная асимптота для нее справедлива формула (1), т.е. (2).

Значит,

Т.е. условие а) выполнено. Из формулы (2) также следует, что

Достаточность: итак, пусть выполнены условия а) и б) теоремы для некоторой прямой . Тогда из б) следует, что , а это и означает выполнение условия (1)

Пример нахождения асимптоты:

Наклонные асимптоты:

а) левая

б) правая

§7.6. Построение графика функции с использованием производных.

Строгой схемы исследования не существует, можно дать лишь некоторые рекомендации к исследованию и построению функции:

1. Находим область определения функции, характеристические особенности функции (четность, нечетность, периодичность).

2. Найти нули функции, промежутки знака постоянства функции.

3. По первой производной определить точки, подозрительные на экстремум, исследовать их характер и определить промежутки монотонности функции.

4. По второй производной найти точки, подозрительные на перегиб, исследовать их и определить промежутки определенного направления вогнутости.

5. Найти вертикальную и наклонную асимптоты.

6. Построить график функции. При этом, если есть необходимость, можно вычислить некоторые дополнительные точки.

Пример: