§5.7. Производные высших порядков (в.П.).

Понятие производных в.п.

Рассмотрим функцию . Пусть эта функция дифференцируема (т.е. имеет конечную производную) при любых . Тогда производная этой функции это снова функция от и производная функции это есть вторая производная от первоначальной функции .

Аналогично, дифференцируя заданное количество раз можно получить -ую производную.

Формулы для вычисления производных в.п.

1) - степенная функция

2) - показательная функция

3) - логарифмическая функция

4) Тригонометрические функции

Формула Лейбница для производных в.п. от произведений.

§5.8. Дифференциалы высших порядков (в.П.).

Пусть функция имеет конечные производные всех требуемых порядков. Тогда (1), где

Итак, получаем

Взяв дифференциал -ое количество раз, получаем -ый дифференциал

Лекция №11

Отсутствие инвариантности дифференциала высших порядков.

Рассмотрим функцию В силу инвариантности первого дифференциала дифференциал функции по можно вычислить как для случая, если бы была окончательной переменной , где , т.е. -это функция от .

(2)

Если формулу (2) сравнить с формулой для второго дифференциала , видим, что второе слагаемое является лишним, из-за чего не совпадает с формулой для второго дифференциала, когда была бы окончательной переменной. Таким образом, инвариантность для дифференциалов высших порядков отсутствует.

§4. Основные теоремы дифференциального исчисления.

§4.1. Теорема Ферма.

Определение. Пусть . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей) в точке относительно , если существует окрестность этой точки для выполняется, что , а для выполняется . Случай простого возрастания (убывания) аналогичный, только знаки будут нестрогими.

Лемма.

Если внутренняя точка области определения , то при функция возрастает в точке (убывает).

Доказательство:

По условию

числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Замечание. Лемма доказана для внутренних точек. Если бы речь шла о краевых точках, то лемма тоже сохранялась бы, но возрастание и убывание будут односторонними.

Теорема Ферма(о нуле производной).

Если функция определена на промежутке и принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом промежутке в некоторой точке , то производная в этой точке равна нулю при условии её существования.

Доказательство:

На основе леммы.

Пусть в точке наибольшее значение функции, т.е. (*) для существует производная .

Доказательство от противного: пусть , то по лемме

(1)

Если , то по лемме (2)

1. и (2) противоречат условию (*)

§6.2. Теорема Роля Теорема Роля

1) непрерывна на

2) в

3)

тогда

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса -наибольшее значение функции, -наименьшее значение функции , тогда по условию (3) хотя бы одно из этих значений принимается внутри промежутка, назовем эту точку и по теореме Ферма следует, что .

Геометрический смысл теоремы: Если крайние ординаты кривой равны, то найдется точка, где касательная параллельна оси .