§3.9. Число е.

. Бином Ньютона.

Пусть даны , тогда имеет справедливость формула:

Пример:

.

Теорема 1.

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.

Доказательство:

Пусть дана - возрастающая последовательность. Т.к. - ограниченная последовательность, то . По утверждению теоремы , причем .

Т.к. возрастает, двигаясь в одном направлении вверх по оси , при этом не выходя из промежутка , поэтому значения будут неограниченно приближаться к некоторому числу - предел нашей последовательности.

Аналогично для случая убывающей последовательности.

Для немонотонной последовательности возможно 3 случая:

1. Последовательность имеет предел (конечный),

2. Последовательность стремится к бесконечности.

3. Последовательность не имеет предела (например, ). В этом случае последовательность называется колеблющейся.

Докажем с помощью теоремы 1 существования 2 замечательного предела.

Теорема 2.

Последовательность имеет предел при .

Доказательство:

По формуле бинома Ньютона имеем:

Из полученной формулы видно, что с ростом каждое слагаемое, начиная с третьего, во-первых, будут увеличиваться, во-вторых, при этом будут еще добавляться новые положительные слагаемые. Итак, - возрастающая последовательность.

Докажем теперь, что - ограниченная последовательность.

Заменив все скобки единицами, мы увеличим правую часть.

Мы тем более увеличим правую часть, если произведем следующую замену:

Получим, что (добавив еще членов до бесконечности, мы еще увеличим правую часть).

- возрастает и ограничена, таким образом, по теореме 1 имеет предел.

Предел этой последовательности обозначают числом .

- 2 замечательный предел.

§3.10. Лемма о вложенных промежутках.

Определение 1 Последовательностью вложенных промежутков называется последовательность промежутков, в которой каждый последующий промежуток содержится в предыдущем.

Определение 2 Последовательность вложенных промежутков называется стягивающей, если длины ее промежутков стремятся к нулю.

Лемма (Коши-Кантора).

Для любой стягивающейся последовательности вложенных, замкнутых, конечных промежутков существует и единственна точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности.

Замечание: все требования леммы должны выполняться.

Пример:

Условие замкнутости пропустили

Если бы существовала точка , принадлежащая всем промежуткам, то она как минимум была бы больше 0, но т.к. , значится найдется такое . Таким образом, не существует точки, которая будет принадлежать всем промежуткам.

§3.11. Лемма (Больцано-Вейерштрасса) о выделении сходящейся последовательности.

Рассмотрим произвольную последовательность и рассмотрим последовательность номеров

- подпоследовательность исходной последовательности.

Пример:

1 2 3 4 5 6 7 8 9…

1 4 8 15 21 – подпоследовательность

Утверждение: Если , то для любой ее подпоследовательности будет существовать . Это частный случай следствия 1 из §3.3.