§6.3. Теорема Лагранжа. Теорема.

Если:

1) непрерывна на

2) в

тогда существует точка (1)

Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа, т.к. , тогда .

Геометрический смысл:

геометрически означает, что угол наклона касательной в точке равен углу наклона хорды .

Формулу (1) называют формулой конечных приращений Лагранжа и записывают в виде: (1)

§6.4. Теорема Коши о конечных приращениях. Теорема.

Пусть функция и :

1. непрерывны в

2. имеют конечные производные и в

3. и конечна

тогда существует точка (1)

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши, которая получается, если .

Доказательство:

а) сначала покажем, что , т.е. . Если допустить противное: , то функция удовлетворяет условиям теоремы Роля , а это противоречит условию (3)

б) введем вспомогательную функцию Утверждается, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы Роля

, т.е. получена формула (1)

В литературе все рассмотренные теоремы: Ферма, Роля, Лагранжа и Коши – называются теоремами о среднем.

§6.5. Формула Тейлора.

Для многочленов.

Любой многочлен -ной степени можно записать в следующем виде: (1). Возьмем . Многочлен вида (1) можно записать по степеням . Для этого

(по биному Ньютона

)

Группируемпо степеням и получаем, что многочлен: (1’)

Для определения коэффициентов положим в формуле (1’) такое условие, что

Таким образом, с учетом полученных формул (2) формулу (1’) можно переписать в следующем виде : (1’’).

Формула (1’’) – это формула Тейлора для многочлена -ной степени.

Замечание: Если многочлен записан в виде (1’) по степеням , то его коэффициенты выражаются по формуле (3), по которой можно сказать, что вычисляются коэффициенты по известным производным и наоборот. Поэтому, если многочлен записан в виде , то ясно, что все производные в точке равны соответственно

.Для функций.

Рассмотрим функцию , которая точке имеет все необходимые производные.

Многочлен дает приближение функции на величину . Многочлен обладает свойством , что его значение в точке и первая производная в точке совпадают с таковыми для самой функции. Возникает гипотеза, что многочлен -ного порядка даст еще большее приближение нашей функции, причем значение этого многочлена и его производной в точке совпадает с таковыми для самой функции.

(4) – многочлен Тейлора -ной степени для функции с центром в точке .

Обозначая , можно записать: (5)- формула Тейлора -ной степени для функции с центром в точке и остаточным членом .

Замечание. Записывая , говорят, что остаточный член записан в форме Пеано. Формула Тейлора для функции при называют формулой Маклорена:

Лекция №12.

§6.6. Приложение формулы Тейлора.

Для разложения некоторых функций (все разложения будут рассматриваться по формуле Маклорана, т.е. при ).

1)

2)

В разложении будут отсутствовать четные номера производных, а нечетные будут чередоваться, начиная с +1.

3)

В разложении будут отсутствовать нечетные номера, а четные будут чередоваться, начиная с +1.

4)

5) Биноминальное разложение

Если в полученных формулах взять в виде (в форме Пиана), то увидим, что все они дают нам более точные, чем известные нам ранее выражения эквивалентности для функций , приближения.

Для вычисления некоторых функций.

При разложении формул Тейлора можно оценить погрешность этой формулы, т.л. она равна (по абсолютной величине) первому отброшенному члену.

Например:

определяем погрешность

Для вычисления пределов.