1.9. Дальнейшие операции над протоколами

Этот раздел посвящен некоторым дальнейшим операциям над протоколами. На данной стадии его можно пропустить, потому что в следующих главах, где используются эти операции, будут даны соответствующие ссылки.

1.9.1. Замена символа

Пусть f – функция, отображающая символы из множества A в множество В. С помощью f можно построить новую функцию f*, отображающую последовательность символов из А* в последовательность символов из В*, путем применения f к каждому элементу последовательности. Например, если удвоить – функция, удваивающая свой целый аргумент, то

удвоить*(<1, 5, 3, 1>) = <2, 10, 6, 2>

Очевидно, что функция со звездочкой является дистрибутивной и, следовательно, строгой.

L1. f*(<>) = <>

L2. f*(<x>)) = <f(x)>

L3. f*(s^t) = f*(s)^f*(t)

Остальные законы являются очевидными следствиями:

L4. f *(s)₀ = f(s₀) если s ≠ <>

L5. #f*(s) = #s

Однако следующий очевидный закон, к сожалению, справедлив не всегда;

f*(s ↾ A) = f*(s) ↾ f(A), где f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Простейший контрпример представляет собой функция f такая, что

f(b) = f(c) = c, где b ≠ c

Так как b ≠ с, то, следовательно,

f*(<b> ↾ {c}) = f*(<>)

= <>

≠ <c>

= <c> ↾ {c}

= f*(<c>) ↾ f({c}) так как f(c) = c

Если же функция f взаимно однозначна, то данный закон выполняется:

L6. f*(s ↾ A) = f*(s) ↾ f(A), при условии, что f –инъективная функция.

1.9.2. Конкатенация

Пусть s – последовательность, каждый элемент которой в свою очередь является последовательностью. Тогда ^/s получается из s конкатенацией всех ее элементов в их исходном порядке, например:

^/<<1, 3>, <>, <7> = <1, 3>^<>^<7> = <1, 3, 7>

Эта операция дистрибутивна:

L1. ^/<> = <>

L2. ^/(s) = s

L3. ^/(s^t) = (^/s)^(^/t)

1.9.3. Чередование

Последовательность s является чередованием последовательностей t и u, если ее можно разбить на серию подпоследовательностей, которые, чередуясь, представляют собой подпоследовательности из t и u. Например,

s = <1, 6, 3, 1, 5, 4, 2, 7>

является чередованием t и u, где t = <1, 6, 5, 2, 7>, а u = <3, 1, 4>

Рекурсивное определение чередования можно задать следующими законами:

L1. <> чередование(t, u) ≡ (t = <> & u<>)

L2. s чередование(t, u) ≡ s чередование(u, t)

L3. (<x>^s) чередование(t, u) ≡

(t <> & t₀ = x & s чередование(t’, u)

(u <> & u₀= x & s чередование(t, u’)