1.6.4. Звездочка

Множество A*–это набор всех конечных протоколов (включая <>), составленных из элементов множества A. После сужения на A такие протоколы остаются неизменными, Отсюда следует простое определение:

A* = {s | s ↾ A = s}

Приведенные ниже законы являются следствиями этого опре­деления:

L1. <> ∈ A*

L2. <x> ∈ A* ≡ x ∈ A

L3. (s^t) ∈ A* ≡ s ∈ A* & t ∈ A*

Они обладают достаточной мощностью, чтобы определить, принадлежит ли протокол множеству A*. Например, если

x ∈ A, а у ∉ A, то

<x, y> ∈ A* ≡ (<x>^<y>) ∈ A*

≡ (<x> ∈ A*) & (<y> ∈ A*) по L3

≡ истина & ложь по L2

≡ ложь

Еще один полезный закон может служить рекурсивным опре­делением A*:

L4. A* = {t | t = <> ∨ (t0 ∈ A & t’ ∈ A*)}

1.6.5. Порядок

Если s – копия некоторого начального отрезка t, то можно найти такое продолжение u последовательности s, что s^u = t Поэтому мы определим отношение порядка

s ≤ t = (∃u.s^ = t)

и будем говорить, что s является префиксом t. Например:

<x, y> ≤ <x, y, x, w>

<x, y> ≤ <z, x, y> ≡ x = z

Отношение ≤ является частичным упорядочением и имеет своим наименьшим элементом <>. Об этом говорят законы L1–L4:

L1. <> ≤ s наименьший элемент

L2. s ≤ s рефлексивность

L3. s ≤ t & t s ⇒s = t антисимметричность

L4. s ≤ t & t ≤ u ⇒ s ≤ u транзитивность

Следующий закон вместе с L1 позволяет определить, яв­ляется ли справедливым отношение s ≤ t:

L5. (<x>^s) ≤ t ≡ t ≠ <> & x = t₀ & s ≤ t’

Множество префиксов данной последовательности вполне упо­рядочено:

L6. s ≤ u & t ≤ u ⇒ s ≤ t ∨ t ≤ s

Если s является подпоследовательностью t (не обязатель­но начальной), мы говорим, что s находится в t; это можно определить так:

s в t = (∃u, v.t = u^s^v)

Это отношение также задает частичный порядок в том смысле, что оно удовлетворяет законам L1–L4, Кроме того, для него справедливо следующее утверждение:

L7. (<x>^s) в t = t ≡ t ≠ <> & ((t₀ = х & s ≤ t) ∨ (<x>^s) в t’)

Будем говорить, что функция f из множества протоколов во множество протоколов монотонна, если она сохраняет от­ношение порядка ≤ т. е.

f(s) ≤ f(t) всякий раз, когда s≤t

Все дистрибутивные функции монотонны, например;

L8. s ≤ t ⇒ (s ↾ A) ≤ (t ↾ A)

Двуместная функция может быть монотонной по каждому из аргументов. Например, конкатенация монотонна по второму (но не по первому) аргументу:

L9. t ≤ u ⇒ (s^t) ≤ (s^u)

Функция, монотонная по всем аргументам, называется просто монотонной.

1.6.6. Длина

Длину протокола t будем обозначать #t, Например, #<x, y, x> = 3 Следующие законы определяют операцию #;

L1. #<> = 0

L2. #<x> = 1

L3. #(s^t) = (#s) + (#t)

Число вхождений в t символов из A вычисляется выра­жением # (t ↾ A).

L4. #(t ↾ (A ∪ B)) = #(t ↾ A) + #(t ↾ В) – #(t ↾ (A ∩ B))

L5. s ≤ t ⇒ #s ≤ #t

L6. #(tⁿ) = n(#t)

Число вхождений символа х в протокол s определяется как

s ↓ x = #(s ↾ {x})

1.7. Реализация протоколов

Для машинного представления протоколов и реализации операций над ними нам потребуется язык высокого уровня с развитыми средствами работы со списками, К счастью, ЛИСП как нельзя лучше подходит для этой цели. Протоколы в нем очевидным образом представляются списками атомов, соответствующих его событиям:

<> = NIL

<мон>= cons("MOН, NIL)

<мон, шок> = "(МОН, ШОК)

что означает cons("МОН, cons("ШОК, NIL)).

Операции над протоколами легко реализовать как функ­ции над списками. Так, например, голова и хвост непустого списка задаются примитивами car и cdr:

t₀ = car(t)

t’ = cdr(t)

<x>^s = cons(x,s)

Конкатенация в общем виде реализуется с помощью известной функции append, которая задается рекурсивно:

s^t = append(s, t)

где append(s, t) = if s = NIL then t

else cons(car(s),append(cdr(s, t))

Корректность этого определения вытекает из законов

<>^t = t

s^t = <s₀>^(s’^t) когда s ≠ <>.

Завершение ЛИСП–функции append гарантируется тем, что при каждом рекурсивном вызове список, подставляемый в качестве первого аргумента, короче, чем на предыдущем уровне рекурсии. Подобное рассуждение позволяет устано­вить корректность и других, приведенных ниже, реализаций. Для реализации сужения представим конечное множество списком его элементов. Проверка (x ∈ B) выполняется вы­зовом функции

принадлежит(х, В) = if В = NIL then ложь

else if х = саr(В) then истина

else принадлежит(x, cdr(В))

после чего сужение (s ↾В) может быть реализовано функцией

сужение (s, B) = if s = NIL then NIL

else if принадлежит(car(s), B) then cons(car(s), сужение(cdr(s), В))

else сужение(cdr(s),В)

Проверка (s ≤ t) реализуется функцией, дающей ответ истина или ложь; реализация основана на законах 1.6.5 L1 и L5:

префикс_ли(s, t) = if s = NIL then истина

else if t = NIL then ложь

else car(s) = car(t) & префикс_ли (cdr(s), cdr(t))