2 Схема построения доверительных интервалов

Методика построения доверительных интервалов для параметра  распределения вероятностей:

1) из генеральной совокупности значений случайной величины X, имеющей функцию распределения F(x, ), извлекается выборка объема n;

2) по результатам выборки находится точечная оценка параметра  распределения вероятностей;

3) составляется вспомогательная случайная величина , закон распределения вероятностей которой известен;

4) задается доверительная вероятность ;

5) используя плотность распределения вероятностей случайной величины Z, находят такие два числа Z₁ и Z₂ (рисунок 1), что

; (1)

; ;

6) как только Z₁ и Z₂ найдены, двойное неравенство решается относительно  и получается искомый интервал .

Рисунок 1 – Двусторонняя критическая область статистического критерия

3 Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение

Пусть вероятностный эксперимент описывается случайной величиной X и известно, что X подчиняется нормальному закону распределения вероятностей

, ,

где – среднее квадратическое отклонение случайной величины X, причем значения a и нам неизвестны;

a – математическое ожидание.

Построим доверительный интервал для неизвестного значения a математического ожидания. Воспользуемся алгоритмом, изложенным в пункте 2:

1) извлечем выборку объема n из генеральной совокупности;

2) по выборке найдем точечные оценки параметров a и :

, ;

3) составим случайную величину

. (2)

Доказано, что случайная величина t имеет распределение Стьюдента с степенями свободы;

4) зададим доверительную вероятность ;

5) найдем t₁ и t₂ такие, что

, (3)

где – плотность распределения Стьюдента, график которой изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Плотность распределения Стьюдента

Поскольку кривая плотности распределения Стьюдента симметрична относительно вертикальной оси, мы можем выражение (3) записать так

,

пользуясь таблицей значений t-распределения (приложение Б), найдем значение ;

6) полагая известными значения и , запишем из (3) выражение в скобках

(подставим выражение для t из (2)) =

.

Решим двойное неравенство относительно a:

. (4)

Таким образом, мы построили доверительный интервал (4) для параметра a.

Для построения интервальной оценки неизвестной дисперсии воспользуемся тем, что случайная величина подчинена -распределению с (n – 1) степенями свободы. Поэтому

, (5)

где –  – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы;

–  – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы (приложение В). Разрешая неравенство (5) относительно , получим случайный доверительный интервал для неизвестного параметра

. (6)

Соответственно доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид

, (7)

и таким образом мы построили доверительный интервал для параметра .

Замечание – Если случайная величина X имеет произвольную функцию распределения , по формулам (4) и (7) можно строить приближенные доверительные интервалы соответственно для математического ожидания и среднего квадратического отклонения, если объем выборки достаточно велик, .

Пример 1 Из многочисленного коллектива работников фирмы случайным образом отобрано n = 25 работников. Средняя заработная плата этих работников составила д.е. при выборочном среднеквадратическом отклонении д.е. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальную оценку:

а) для средней месячной заработной платы на фирме;

б) суммы затрат фирмы на заработную плату отдела, состоящего из 520 сотрудников.

Решение. 1) Среднемесячная заработная плата на фирме характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью . Согласно (4) имеем

,

где – -процентная точка -распределения (распределения Стьюдента). По таблице (см. приложение Б) распределения Стьюдента находим . Поэтому

.

Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что средняя заработная плата на фирме находится в пределах: .

2) Средняя сумма затрат фирмы на заработную плату отдела из N сотрудников составит д.е. Следовательно, с вероятностью можно утверждать, что затраты фирмы на заработную плату отдела не выйдут за пределы интервала:

,

.

Пример 2 При анализе точности фасовочного автомата было проведено n = 24 контрольных взвешиваний пятисотграммовых пачек кофе. По результатам измерений рассчитано выборочное среднее квадратическое отклонение г. Требуется с доверительной вероятностью оценить точность фасовочного автомата, то есть определить интервальную оценку .

Решение. Согласно (6) интервальная оценка дисперсии

.

По таблице процентных точек -распределения (см. приложение В) найдем

;

.

Следовательно,

.

Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения  будет находиться в интервале

Предположив, что ошибка фасовочного автомата есть нормально распределенная случайная величина с нулевой средней и среднеквадратическим отклонением , можно с вероятностью 0,954 утверждать, что вес пачек кофе будет в пределах

.

Порядок выполнения работы

1 В лабораторной работе № 1 вы выполнили обработку статистических данных и вычислили точечную оценку среднего значения исследуемой случайной величины X и точечную оценку среднего квадратического отклонения X. Перепишите из лабораторной работы № 1 значения величин n, и .

2 Постройте вручную интервальные оценки для неизвестных истинных значений и .

3 Вычислите интервальные оценки для и на ЭВМ (приложение А, п. 6).

4 Сделайте вывод.

Контрольные вопросы

1 Что такое точечная и интервальная оценки параметров?

2 Почему возникает необходимость построения интервальной оценки параметра?

3 Что называется доверительной вероятностью?

4 Дайте определение доверительного интервала.

5 Что такое точность вычисления интервальной оценки?