Контрольные вопросы
1 Что называется случайной величиной? Какие типы случайных величин вы знаете?
2 Что называется генеральной совокупностью?
3 Что называется выборкой? Какими свойствами должна обладать выборка?
4 Для чего используется выборочный метод? Какая выборка называется репрезентативной? Укажите условия получения репрезентативных выборок.
5 Что называется вариационным рядом?
6 Укажите последовательность проведения первичной обработки статистических данных.
7 Опишите методику построения сгруппированного и интервального статистических рядов и их графического изображения.
8 Дайте определение эмпирической функции распределения и укажите ее свойства.
9 Что называется выборочной статистикой; статистической оценкой параметра? Что представляют собой точечные и интервальные оценки?
10 Какие требования предъявляются к статистическим оценкам?
11 Какие статистики используются в качестве точечных оценок основных числовых характеристик? Какими свойствами они обладают?
Лабораторная работа № 2
Построение интервальных оценок параметров распределения
Цель работы: изучить методику построения интервальных оценок
параметров распределения вероятностей случайной вели-
чины.
Задание: построить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины.
Основные теоретические сведения
1 Основные понятия
Вычисляя на
основании имеющихся у нас выборочных
данных оценку
параметра , мы
понимаем, что величина
является лишь приближенным значением
неизвестного параметра ,
даже в том случае, когда эта оценка
состоятельна, несмещённа и эффективна.
Поэтому возникает вопрос: как сильно
отклоняется это приближенное значение
от истинного? Нельзя ли указать
интервал вида
,
который с заранее заданной вероятностью,
близкой к единице, накрывает неизвестное
нам истинное значение
искомого параметра?
Если такой интервал
мы сможем построить, то длина интервала
,
будет характеризовать точность вычисления
оценки параметра :
чем меньше величина
,
тем точнее оценка. Действительно, если
случайный интервал
накрывает с заданной вероятностью
истинное значение параметра ,
то, принимая за оценку параметра
значение
(или
),
мы допустим ошибку не более, чем
.
Доверительной
вероятностью оценки называется
вероятность
выполнения неравенства
:
;
.
Выбор доверительной вероятности
определяется конкретными условиями;
обычно используются значения
,
равные 0,90; 0,95; 0,99.
Доверительная
вероятность оценки показывает, что при
извлечении достаточно большого числа
выборок объема n из
одной и той же генеральной совокупности
с функцией распределения F(x, )
в
случаях параметр
будет накрываться интервалом
,
и лишь
интервалов
не содержит оцениваемый параметр.
Доверительным интервалом называется интервал , накрывающий неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью .
Мы говорим «Интервал будет накрывать неизвестное истинное значение параметра » потому, что значение и вычисляются по выборке и поэтому случайны и изменяют свои значения от выборки к выборке, а значение параметра остается неизменным.
Иногда удается
построить доверительный интервал,
границы которого симметричны относительно
точечной оценки
параметра
:
;
.
И тогда
или
.