22. Уравнение Шредингера для атомов щелочных метало, собственные значения и энергии.

Д ля атома водорода нахождение уровней энергий является несложной аналитической задачей. Если в атоме существуют несколько электронов, то решение уравнения Шредингера существенно усложняется. В настоящее время ни точного аналитического, ни точного численного решения ещё не получено. Существуют лишь приближённые решения. Щелочные металлы в таблице Менделеева следуют за благородными газами, то есть их атомы содержат на один электрон больше, чем атомы инертных газов. Поэтому эти металлы легко ионизировать. Энергетическое строение атомов щелочных металлов близко к строению атома водорода. Если атом щелочного металла имеет Z электронов, то Z-1 электрон образуют структуру, схожую с атомом инертного газа, называемую атомным остовом. Связь последнего электрона с остовом слабая, поэтому можно считать, что валентный электрон движется в эффективном поле атомного остова. Однако валентный электрон деформирует оболочку и искажает потенциальное поле кулоновских сил, в котором сам же и двигается. Поэтому потенциальная энергия валентного электрона моет быть представлена в виде: . Здесь слагаемые со степенью -2 и выше образуют поправку на влияние на искажение поля электроном. Ограничимся поправкой пропорциональной 1/r2. Тогда уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции примет вид: . Данное уравнение будет полностью совпадать с уравнением Шредингера, которое мы уже решили, если положить . Раскрыв скобки и решив полученное квадратное уравнение относительно l’, получим: ; . Здесь l’ должно быть больше нуля, иначе угловая часть волновой функции будет бесконечна. Тогда . Так как электрон не очень сильно искажает кулоновское поле, то в подкоренном выражении можно разложить в ряд второе слагаемое, так как оно гораздо меньше единицы. Ограничимся только первым слагаемым: . Тогда . Размерность C1 – метр. , но – радиус первой боровской орбиты. Тогда . Здесь – среднее расстояние от ядра до ближайшего электрона имеет порядок 10-11м. Таким образом, поправка действительно мала. Тогда для атома щелочного металла главное квантовое число будет: . Введём обозначение: . Следовательно, . Тогда выражение для уровней энергии щелочного металла примет вид: , где , а Z – заряд ядра.

Рассмотрим энергетическую структуру Li. Литий – щелочной металл. В таблице Менделеева он идёт сразу за инертным газом гелием, поэтому имеет соответственно на один электрон больше, чем He. Литий обладает тремя электронами, два из которых образуют вместе с ядром устойчивую структуру, – атомный остов, а на внешнем энергетическом уровне расположен лишь один валентный электрон. Главное квантовое число лития в основном состоянии равно двум: n=2; основное состояние – 2S. Рассмотрим главное квантовое число: . Тогда, если k=0, то .Тогда l в состоянии 2S равно 0, но из последней формулы следует, что l может быть также равно 1. Это даёт состояние 2p. Энергия в этом состоянии больше, чем для случая j=0, так как , здесь меньше нуля. Очевидно, что для n=2 , поэтому состояние 2d невозможно. Невозможны также состояния 2f и 3f. Переходы между различными состояниями осуществляются по правилам отбора: в атоме возможны только те оптические переходы, в которых дипольный момент перехода не равен нулю. Под дипольным моментом D понимают переход между квантовыми уровнями с числами m и n: , где rm,rn –

Правило отбора: принимает любое значение, а – только . В соответствии с данным правилом, для лития существует переход из 2Sв p состояния. Такой переход называют главным, а спектральные линии, полученные при таком переходе – главной серией: . Для лития: . Не запрещённые правилами отбора переходы , дают группу спектральных линий, соответствующую этим переходам, которую называют резкой серией. Не запрещены также переходы . Для лития n=2; для натрия n=3. Данные переходы образуют диффузную серию.